再聊TCP BBR的2/ln2 bbr_high_gain问题_bbr算法2/ln2

嗯，确实还真有人看了我在雨夜写的上一篇文章：
BBR的startup gain为什么是2/ln2？：https://blog.csdn.net/dog250/article/details/80660091
并且提出了问题。我就再写一篇文字解释一下这些问题。

问题1：
init_cwnd×2n=cwnd

i

n

i

t

_

c

w

n

d

×

2

n

=

c

w

n

d

$init_cwnd×2^n=cwnd$对
n

n

$n$求导怎么会是$n×2^{n−1}$
问题2：如果能用
2x

2

x

$2^x$同时表示速率和BDP，那么对速率积分所得的BDP为什么会比
2x

2

x

$2^x$多出来一个
1ln2

1

ln

⁡

2

$dfrac{1}{ln2}$因子呢？

先来看第一个问题，这个是温州皮鞋厂老板在问我为什么bbr_high_gain是
2ln2

2

ln

⁡

2

$dfrac{2}{ln2}$的时候他自己算出来的，很显然他算错了，至于为什么错，这要问老板，可能是求导公式记错了，但毕竟思路是对的，老板记成了二项式的求导，比如
(xn)′=nxn−1

(

x

n

)

′

=

n

x

n

−

1

$(x^n)prime=nx^{n-1}$这种。

长期不用这些公式，谁都会忘，熟记它们毫无意义，紧急用到了现查，不紧急又查不到就用连续性和求极限原理现推导都可以，我的观点就是原理一定要明白，必要时自己能算，公式本身背下来没有意义，大脑的存储空间分为两种用途，一部分是暂时记忆计算的中间过程的，类似寄存器，另一种用途则是记忆生活的，比如某段刻骨铭心的经历或者让你难忘的某个人的音容笑貌，纯粹去记公式或者背诵课文，除了应对该死的考试，毫无意义。

第一个问题回到到此。

来看第二个问题，这个问题比较有意思。

首先你要先明白并且承认，我们可以用以下两种方式表示BDP:

1. BDP随着RTT指数倍增，因此使用
   f2(x)=2x
   

   f

   2

   (

   x

   )

   =

   2

   x

   $f_2(x)=2^x$表示BDP

2. 速率随着RTT指数倍增，速率也可表示为
   f1(x)=2x
   

   f

   1

   (

   x

   )

   =

   2

   x

   $f_1(x)=2^x$，因此
   F(x)=∫f1(x)dx
   

   F

   (

   x

   )

   =

   ∫

   f

   1

   (

   x

   )

   d

   x

   $F(x)=displaystyleint f_1(x)dx$可以表示BDP

现在，矛盾来了，我们注意到两种方式表示的BDP并不相等！

f2(x)=2x≠2xln2=F(x)

f

2

(

x

)

=

2

x

≠

2

x

ln

⁡

2

=

F

(

x

)

$f_2(x)=2^x ne dfrac{2^x}{ln2}=F(x)$

它们之间差了一个
1ln2

1

ln

⁡

2

$dfrac{1}{ln2}$因子！这是为什么？？

答案就是BBR试图要回答的：用平滑的曲线去拟合平滑的而不是离散的发送过程，进而求出bbr_high_gain。

我这里形象的用图示解释一下。

我们把TCP BBR在startup阶段发送的数据包想象成一个连续不断向前走的东西，至于什么东西，都可以，可以是汽车，也可以是火车。很显然，发送的速率不断增加，相邻数据包是时间上的间隔会不断缩短，对于第一个表达BDP的式子，它就像下图这样，我用颜色深浅表示发送速率，颜色越深，速率越低：

这像什么？这像越来越快发射的子弹，也像一个城市的一条路上进入早高峰的过程。我们数数看一共多少个包，嗯，是6个，没错，这时的BDP就是6。

那么如果用速率进行积分的话，会是一种什么样的场景呢？我们知道，积分是在一个连续函数上进行的，因此它的样子应该是下面的这样：

这像什么？感觉有点像人留下来的长鼻涕，开始的时候很慢，随着越拉越长，在重力作用下其下端会加速坠落，同时一直到鼻孔处全部黏在一起而不断…

看看这时的BDP怎么算，非常显然，这么一长条除以MSS即是以数据包个数计数的BDP。由于其连续性，填补了直接用
2x

2

x

$2^x$计数数据包时的离散空隙，多出来的那部分就是用因子
1ln2

1

ln

⁡

2

$dfrac{1}{ln 2}$来增益的。

BBR算法正是用后面的这个连续函数的积分来计算针对上一个RTT时BDP的增益的，因此便有了：

F(x)=G×f2(x−1)

F

(

x

)

=

G

×

f

2

(

x

−

1

)

$F(x)=Gtimes f_2(x-1)$

由这个式子直接可以导出
G=2ln2

G

=

2

ln

⁡

2

$G=dfrac{2}{ln2}$，非常直接，以一个确定性的上个RTT周期的
f2(x−1)

f

2

(

x

−

1

)

$f_2(x-1)$为锚点，求出连续情况下增益为多少，才能达到当前的BDP。

类似的，你也会发现，用BDP的表达式
f1(x)=2x

f

1

(

x

)

=

2

x

$f_1(x)=2^x$求导数计算速率时，也会遇到相同的问题，也是连续和离散的问题。这个时候，计算出来的导函数为
g(x)=2xln2

g

(

x

)

=

2

x

ln

⁡

2

$g(x)=2^xln2$，显然是比
f2(x)=2x

f

2

(

x

)

=

2

x

$f_2(x)=2^x$更小，这是因为求导是在连续函数上进行的，因此为了求导，你必须把离散的数据包压缩在一起，必然要缩短总距离：

好了，解释完了，至于说为什么一定要用连续函数来计算bbr_high_gain，纯粹是因为这样算出来的值会更加平滑，因为如果你直接使用曲线
2x

2

x

$2^x$中的增益
2

2

<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3585">2</script>，那么相当于你默认了一个约束，即每到一个RTT倍数的准点，你的PacingRate即速率将会面临一次翻倍，然而具体实现当中，这个约束很难满足，BBR的实现可以看出，其PacingRate的计算是实时的，所得到的结果是一个即时的正确的速率，并没有受到RTT的约束。

既然BBR要以测量而不是假设为准，那么算法执行地越平滑越好。记不记得当初BIC进化到CUBIC的时候，就是去除了RTT的约束，最终CUBIC放弃了BIC二分折线，CUBIC拟合了一条平滑的三次曲线，与RTT彻底无关了，从而解决了RTT公平性问题！唉，日光之下，并无新事。明天将重播今天的故事…

浙江温州皮鞋湿！