1.背景

笛卡尔坐标系: 就是直角坐标系和斜坐标系的统称。
欧氏空间:

在欧氏（几何）空间，同一平面的两条平行线永远不能相交，这是我们都熟悉的一种场景。 然而，在透视空间里面，两条平行线可以相交，例如：火车轨道随着我们的视线越来越窄，最后两条平行线在无穷远处交于一点。

欧氏空间（或者笛卡尔空间）描述2D/3D几何非常适合，但是这种方法却不适合处理透视空间的问题（实际上，欧氏几何是透视几何的一个子集合），2D笛卡尔坐标可以表示为(x,y) 。
如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会(∞，∞)，在欧氏空间中，这就变得没有意义。平行线在透视空间的无穷远处交于一点，但是在欧氏空间却不能表示，数学家发现了一种方式来解决这个问题（那就是齐次坐标）。

2.齐次坐标的定义

“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”—— F.S. Hill, JR
简单的说：齐次坐标就是在原有坐标上加上一个维度：

我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标。因此，一个在笛卡尔坐标系下的点(X, Y)在齐次坐标里面变成了(x, y，w)，并且有

X = x/w
Y = y/w

例如，笛卡尔坐标系下(1,2)齐次坐标可以表示为(1,2,1)，如果点(1,2)移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为(∞，∞)，然后它的齐次坐标表示为(1,2,0)，因为(1/0,2/0)=(∞，∞)。
注意这样的话，我们可以不用 ” ∞ " 来表示一个无穷远处的点了

3.点和向量

点是三维空间中的某个坐标，是绝对的，它的值是参照原点的。
向量用于表示力和速度等具有方向和大小的量， 通常用具有长度和方向的线段来表示。

他们都具有三个分量，但对于向量，如果将向量放在坐标系中的任何位置（平移），都不会改变其性质，因为向量表示的是方向和大小，与位置距离无关，它的值是相对与基准点的。下图是三维顶点和向量的数学符号或称为列矩阵。

两个点向量得到一个向量：
设O（0，0）是原点，则A、B的坐标与向量OA、OB的坐标相同，向量BA=向量OB-向量OA

点和向量转为齐次坐标, 通过将第四个分量定义为0或1，来描述前面三个坐标分量是向量的还是点的坐标。
1.如果第四个分量为 0，则前面 x，y，z 三个坐标分量描述的是一个向量。
2.如果第四个分量为 1，则前面 x，y，z 三个坐标分量描述的是一个点。
普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换：

(1)从普通坐标转换成齐次坐标时
   如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);
   如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)

(2)从齐次坐标转换成普通坐标时   
   如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);
   如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)

通过定义，我们同时得到以下性质：
1）两点相减的结果是一个向量（因为两个点第四个分量都为 1，相减之后变为了 0）
2）一个点与一个向量相加的结果是一个点（点的第四个分量为 1，而向量的第四个分量为 0，1+0=1，因此相加的结果是一个点）

4.无穷远点

在平面几何中，我们认为“平行直线不会相交”。这个观点在射影几何中得到了修正，“平行直线相交于无穷远点”。无穷远点并不在我们通常理解的平面之内，而是在平面之外的“无穷远处”。为了方便说明，这种点通常用∞
来表示。

用齐次坐标证明两条平行直线相交于无穷远点
在欧几里得空间的线性系统方程：

两条平行直线:
Ax + By + C = 0
Ax + By + D = 0

在笛卡尔坐标系中，如果C≠D该方程组无解。如果C=D，两条直线就相同了。
在透视空间中，使用齐次坐标“(x/w, y/w)"分别代替(x, y)重写这个方程。
Ax/w + By/w + C = 0
Ax/w + By/w + D = 0
化为
Ax + By + Cw = 0
Ax + By + Dw = 0

有一个解(x,y,0)。因此两条平行直线相交于(x,y,0)，这个点在无穷远处。

在二维向量中，点的齐次坐标表示为(x,y,1),写成一般形式为(Hx,Hy,H)。对于任何不等于0的H，(Hx,Hy,H)都表示普通坐标中的(x,y)，所以在二/三维空间中，点没有唯一的齐次坐标。
例如，齐次坐标(12,9,3)和（8，6，2）都表示普通坐标系中的一点(4,3)。当齐次坐标已知时，若要求解普通坐标(x,y)时，可用H除各个齐次坐标，这个过程称为标准化(或称正常化)。

引入齐次坐标后，可以用齐次坐标表示无穷远点，例如

(1,0,0)可以表示x方向的无穷远点
(0,1,0)可以表示y方向的无穷远点

可以通过透视变换将无穷远处的点变换为与之对应的有限远点，相当于透视投影中的灭点。

5.叉乘--点与点，直线与直线

点与点的叉乘
结论：在齐次坐标下，可以用两个点 p, q 的齐次坐标叉乘结果来表达一条直线 l，也就是
直线l = 点p x 点q

直线与直线的叉乘
结论：在齐次坐标下，两条直线 l, m 的叉乘表示他们的交点 x
交点x = 直线l x 直线m

两个向量叉乘的方向

两个向量a和b的叉乘仅在三维空间中有定义，写作 a x b. a x b 是与向量a, b都垂直的向量，其方向通过右手定则（见下图）决定。

其模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积（见下图）。

证明
为什么两条直线 l, m 的叉乘 l x m 等于它们的交点 p，也就是 p = l x m？

原因如下：首先，根据前面叉乘的定义，l x m 的结果向量（记为 p = l x m） 与 l 和 m都垂直，根据点乘的定义，垂直的向量之间的点积为0，因此可以得到：

因此，根据前面点在直线上的结论，可以看到p既在直线l上又在直线m上，所以p = l x m是两条直线的交点。此处p是齐次坐标。同样的，可以证明，两点p, q 的叉乘 可以表示 过两点的直线l，即 l = p x q。

参考
https://zhuanlan.zhihu.com/p/373969867
https://www.cnblogs.com/CodeBlove/archive/2008/10/25/1319563.html
https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html
https://jingyan.baidu.com/article/2c8c281dd30bb50008252a03.html
无穷远点参考
http://www.360doc.com/content/18/0313/11/9200790_736608542.shtml
http://www.360doc.com/content/18/0313/11/9200790_736608542.shtml
叉乘参考
https://blog.csdn.net/yinfourever/article/details/98480841