NEFU 117 素数个数的位数

小明是一个聪明的孩子，对数论有着很浓烈的兴趣。他发现求1到正整数10n 之间有多少个素数是一个很难的问题，该问题的难以决定于n 值的大小。现在的问题是，告诉你n的值，让你帮助小明计算小于10n的素数的个数值共有多少位？

输入数据有若干组，每组数据包含1个整数n（1 < n < 1000000000），若遇到EOF则处理结束。

对应每组数据，将小于10n 的素数的个数值的位数在一行内输出，格式见样本输出。同组数据的输出，其每个尾数之间空一格，行末没有空格。

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素数定理

数论问题，应用素数定理第一个估计即可轻松破之~~

素数定理：

对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。


其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x)与x/ln x的比值趋近1。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。

下面是对π(x)更好的估计：

，当x 趋近∞。

其中（对数积分），而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。

下表比较了π(x)，x/ln x和Li(x)：

*x*	π(*x*)[1]	π(*x*) − *x* / ln *x*[2]	π(*x*) / (*x* / ln *x*)	li(*x*) − π(*x*)[3]	*x* / π(*x*)
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
102	25	3.3	1.151	5.1	4.000
103	168	23	1.161	10	5.952
104	1,229	143	1.132	17	8.137
105	9,592	906	1.104	38	10.425
106	78,498	6,116	1.084	130	12.740
107	664,579	44,158	1.071	339	15.047
108	5,761,455	332,774	1.061	754	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1.054	1,701	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	1.048	3,104	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	1.043	11,588	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	1.039	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	1.034	108,971	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	1.033	314,890	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1.031	1,052,619	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	1.029	3,214,632	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	1.027	7,956,589	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	1.025	21,949,555	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	1.024	99,877,775	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	1.023	222,744,644	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	1.022	597,394,254	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1.021	1,932,355,208	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	1.020	7,250,186,216	51.939

素数定理可以给出第n个素数p（n）的渐近估计：


它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。

下面是我AC的代码
[C++]

1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 int main()
 9 {
10     long long n;
11 
12     while(cin>>n)
13     {    
14         long long t=n;
15         char s[20];
16         t*=log(10);
17         sprintf(s,"%lld",t);
18         cout<<n-strlen(s)+1<<endl;
19     }
20 
21     return 0;
22 }

原文链接: https://www.cnblogs.com/lzj-0218/archive/2013/05/04/3059681.html

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