避免计算过程中出现溢出的一个技巧

先看一道面试题：

长度为n的数组，由数字1到n组成，其中数字a不出现，数字b出现两次，其它的数字恰好出现一次。怎样通过只读遍历一次数组，找出数字a和b。

由于只能遍历一次，在遍历数组arr时，算出a和b的差值，以及a和b的平方差，通过解方程，即可求得a和b。具体做法为：

设：

s1 = 1 + 2 + ... + n (= n * (n + 1) / 2)

s2 = arr[0] + arr[1] + ... + arr[n - 1]

r1 = 1 + 4 + ... + n^2 (= n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6)

r2 = arr[0]^2 + arr[1]^2 + ... + arr[n - 1]^2

c = a - b = s1 - s2

d = a^2 - b^2 = r1 - r2

显然：a + b = (r1 - r2) / (s1 - s2)

根据a+b的值和a-b的值，很容易就可算出a和b。

算法虽然简单，但实现起来，却有一个很大问题：计算s1、s2、r1、r2这4个数时，计算过程中可能出现溢出，造成结果不准。由于最终目的是为了计算出c和d，一个改进的方法是：

c = s1 - s2 = (1 - arr[0]) + (2 - arr[1]) + ... + (n - arr[n - 1])

d = (1 - arr[0]^2) + (4 - arr[1]^2) + ... + (n^2 - arr[n - 1]^2)

但这样的做法，并不能解决问题，n稍微大点，照样存在溢出问题。

那么怎样才能避免计算溢出呢？答案很简单，用模运算！每进行一次加减运算时，都取结果为原结果除以一个足够大的常数M的余数。这样加减运算中，就不会现现溢出问题。最后再由c % M、d % M，推测出c、d的具体值。比如说，计算s2改为计算：

s2 % M = ((((arr[0] % M) + arr[1]) % M + ...) % M + arr[n - 1]) %M

从表面上看，采用模运算后，计算量会增加很多。但实际上，若M取合适的值时，计算量并不会增加！！

先回顾下计算机基本知识：两个各N位（寄存器为N位）的二进制无符号整数a和b相加，若结果溢出了，CPU会怎么处理？当然是将溢出的那一位忽略掉（可能还要设置下溢出标志），得到的结果实际上是：(a + b) mod 2^N。无符号数间的算术运算，本质上就是模运算。现在的CPU都采用二补数来表示负整数，本质上也是运用模运算（教科书将二补数表示的负整数简单定义为：对正整数取反后加1），这与无符号数间的运算是一致的，在实现上，比用其它方法（比如说一补数）表示负整数，要优美易实现。

在32位平台下，-x mod 2^32 = 2^32 – x (x > 0)，

因而-1的二进制表示就是：0xFFFFFFFF

了解了这些，就不会奇怪C/C++标准的规定：无符号数间的运算是模运算不会溢出；有符号数转为无符数，采用模运算后的值。（为了兼容没采用二补数的机器，无符号数转为有符号数时，若无符号数的数值超出了有符号数可表示的范围，结果是平台相关的。）

因而，在对32位CPU平台，可以先将有符号数转为无符号数，再取M = 2 ^32。需要特别注意的是，应该采用多少位的无符号数保存计算中用到的数值，如何避免模运算可能带来的问题：

① 无符号数类型的选择：

a、b的取值范围为：[1, n]，

c % M = (a - b) % M的取值范围为：[1, n] (a > b时)，[M - n, M - 1] (a < b时)

这两个范围不能重叠，而因n < M - n即2 * n < M

若M取2^32的话，且n < 2^31，可以采用32位无符号数表示c的值。

根据c % M值在哪一个范围，可以确定a > b还是a < b，

由于运算过程中都是采用无符号数计算，当a < b时，必须进行如下调整：

c % M调整为(-c) % M

d % M调整为(-d) % M

这样才能保证结果的正确性。

②用公式计算所有数字的和、平方和时，可能出现的问题：

模运算满足：(a * b) % M = ((a % M) *** (b % M)) % M

但不满足：(a/ b) % M = ((a % M) / (b % M)) % M

在计算(n * (n + 1) / 2) % M时，不能写成：

s = ((n * (n + 1)) % M / 2) % M，

而应该写成：

if (n % 2 == 0) s = ((n / 2) * (n + 1)) % M

else s = (((n + 1) / 2) * n) % M

或者：s = (INT((n + 1) / 2) * (n + (n + 1) % 2)) % M（其中INT(x)为取小数x的整数部份）。

完整代码：

#include

#include

#define SMALL_ARRAY 0

structPair{

intzero;

inttwice;

};

//32位CPU平台，长度n一定小于2^16次方时，表示一个数的平方值，可用32位无符号数类型，效率很高。

//长度n若在[2^16, 2^31]区间，就必须用到64位无符号数类型，效率较高。

//长度n若在[2^31, 2^32)时，表示 所有数的和sum，就必须改用64位无符号数类型，效率不高。

Pair find_number(constintarr[],unsignedlen)

{

constunsignedbits=CHAR_BIT sizeof(unsigned);*

#if SMALL_ARRAY

constunsignedmax_len=1u<< (bits/2u);

typedefunsignedintuint;

#else

constunsignedmax_len=1u<< (bits-1);

typedefunsignedlonglonguint;

#endif

assert(arr&&len>=2&&len<max_len);

constunsigned*constdata= (constunsigned*)arr;

unsignedsum=0;

uint square_sum=0;

for (unsignedi=0;i<len; ++i){

constunsignedvalue=data[i];

sum+=value;

square_sum+= (uint)value*value;//注意两个数的乘积是否会溢出

}

//1 + 2 + 3 + ... + len = len * (len + 1) / 2

constuint sum_all= (len+1) /2u* (uint)(len+ (len+1) %2u);

//1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + len^2 = len * (len + 1) * (2 * len + 1) / 6

constunsignedlen2=2u*len+1;

constuint square_sum_all=len2%3u==0?len2/3u*sum_all:sum_all/3u*len2;

unsigneddifference= (unsigned)sum_all-sum;

uint square_difference=square_sum_all-square_sum;

constboolis_negative=difference>INT_MAX;

if (is_negative) {

difference= -difference;

square_difference= -square_difference;

}

assert(difference!=0&&square_difference%difference==0);

constunsignedsum_two=square_difference/difference;

assert((sum_two+difference) %2u==0);

constunsignedlarger= (sum_two+difference) /2u;

constunsignedsmaller= (sum_two-difference) /2u;

if (is_negative) {

constPair result= {smaller,larger};

returnresult;

}

constPair result= {larger,smaller};

returnresult;

}

intmain()

{

}

原文链接: https://www.cnblogs.com/flyinghearts/archive/2012/03/20/2408771.html

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