数学论道–读《不变性与可变性》

昨天读了一位大哥的文章《不变性与可变性》（http://blog.csdn.net/flyfish30/archive/2008/05/25 /2480763.aspx），里面讲到了道---老子的道，用数学的观点分析了什么是道，他说他很有感触，想发一些感慨，我读了他的文章后更是想发泄一番。
道是什么，道就是永恒的东西，不变的东西，让你感到没有什么用的东西...道是说不清的东西，既然说不清我就不说了，大哥会飞的鱼写的那篇《不变性与可变性》里面用微分和积分的形式不变量，讨论了在坐标变换下的微分和任意维的积分的永恒的形式，无论你的坐标系如何，全微分最终的形式是没有任何改变的，无论 你的空间是几维，闭区间上积分形式也是不变的，我们把这些不变的东西叫做不变量，但是不变量需要满足有限个条件（当然我相信存在没有限制条件的不变量，那就是终极真理了，可是现实中的不变量为了理论的完备性和研究的方便，需要满足一定的条件），我们把这些条件称作变换，也就是说量在某个变换下保持不变，我 们就称该量是这个变换的不变量。我们可以把任何变化都看作是一种变换，那么就会发现这个世界有很多变化中的不变的东西存在，这就是狭义的道，而广义的道就是终极真理。比如我们常说江山易改本性难移，这句简单的俗语就说出了变与不变的辩证统一。到底该怎么理解变与不变呢？变体现在时间上和空间上，如果将时间 和空间统一成多维的抽象几何空间的话，那么变化就意味着该空间的一个量在不同的坐标轴的投影会随着在该量在另一坐标轴的投影的变化而变化；而不变量指的是事物的一种秉性，体现着稳定的因素。比如一个沿直线行走的人的位置随着时间而变化，他的位置和时间就是“他沿直线行走”这个量的两个分量，这个量中的“他 ”就是不变量。这个任意维的空间在数学上叫做“希尔伯特空间”，涉及到变换中有关分量操作的还要牵扯张量的概念，这是博客文章不是论文，我也就不再拽文了。数学真是个好东西，它很难，难在它的抽象，它很美，美在它的抽象，以前人们所用的尺规作图法是十分形象的，小学生一教就会，可是它不美，到了后来，人 们抽象出了方程的概念，于是直尺就抽象成了直线方程，也就是一次方程，而圆规就成了曲线方程的一个子集，我们抽出一个来，即二次方程，尺规作图的步骤就随即成了解多元二次混合方程组的步骤，如果该方程组可以只用到加减乘除乘方开方这六个简单运算在有限次运算内得到解，那么该左图就认为是可行的，否则就是不 可行的，以古人的三等分角为例，如果没有方程的抽象，那么试到猴年马月才能得到答案啊。方程的抽象使得很多问题可以用解方程的方法来解决，问题的解决方法统一了，这就是不变的方法，造船，爆破，作图，化妆...都可以用之解决，这就是道吧，方程本身没有什么用，可它的形式简单，不变，指导着任何领域。后来，人们干脆把运算本身也抽象了，不再提什么简单运算，复杂运算，而是一律称为运算，在这个层次上的数学家不管运算本身是什么，只管运算之上的特性，从而 导致了群，环，域的出现，现在我们可以用这些概念解决更多的问题，它比方程的概念更加抽象，故它是更加广泛的道。我们简单看一下什么是群：
群在抽象代数里是一个重要的结构，一个集合G称为对运算A的群，若：
   1. G当中存在一个元素e，使得对于任意G的元素x而言，eAx = xAe = x，有这样性质的元素称为单位元
   2. 对于G中的任意元素x而言，G当中存在一个元素C，使得CAx = xAC = e
   3. 对于任意G中的元素a, b和c而言，aA(bAc) = (aAb)Ac
对于任意群而言，单位元是唯一存在的，且若对于群G中的任意元素a和b而言aAb = bAa，则G称为对A的交换群
然后试着将A换成+，x，你能找到对应的e和C吗，是不是真的很mentos。群的概念把运算以及操作数以一种更加抽象的形式呈现给人们，已经上升到了一派胡言的高度，你能从李群中看到三精葡萄糖酸钙的影子吗？这就是道，你去少林寺学武，师父让你去喂马，这也是道...