品鉴贝叶斯公式里的大道理_贝叶斯公式蕴含的哲理

朋友圈发了不少关于贝叶斯公式的豪言壮语了，终于也算到了周末，应该简单总结一下了。本文不是专业的数学论文，跟原来一样，主要还是以科普为目的，最终让我们认识到利用贝叶斯公式的思维方式，可以带来什么不同。

先给出贝叶斯公式的通常写法(即教科书写法)：

$P(A|B)=cfrac{P(A)times P(B|A)}{P(B)}$

为了理解它，需要理解很多的概念，最后过了一段时间可能还是记不住…

  然而，如果我们将贝叶斯公式换一个写法，其中代表的含义以及如何使用它就令人恍然大悟了。

曾经的解释

曾经很多人对贝叶斯公式给出的解释是，先根据经验拍一个先验概率，然后再逐步根据实际观测的结果对先验概率进行微调。写法如下所示：

$P(A|B)=P(A)timescfrac{P(B|A)}{P(B)}$

其中，可以将$cfrac{P(B|A)}{P(B)}$设为$u$，这样就成了：

$P(A|B)=P(A)times u$

如果$u>1$，则增加事件发生的概率，如果$u<1$，则降低相应的概率。

  那么$u$代表什么含义呢？其实$u$就是根据实际信息生成的一个微调杠杆，随着实验次数的增加，它会不断的增强或者否认先验结论$P(A)$。

值得品味的是，这就是我们人类的思维方式！我们对待任何事物，几乎都是按照这种方式进行的，首先凭直觉对事物有个大概的印象，然后根据后续发生的一系列事件对这个初始印象进行修正，虽然最终我们可能依然是在盲人摸象，但至少是在不断逼近真理。

  以上是贝叶斯公式蕴含的生活哲学。

因果对称解释

我不知道之前有没有这种解释，我是没有看到。这个解释是我在下班的班车上突然想到的，觉得不错，就即时总结下来，写成这篇文章。

  贝叶斯公式的两边同时乘以$P(B)$，得到以下的等式：

$P(A|B)times P(B)=P(B|A)times P(A)$

嗯，就是它！

  我先来解释一下$P(A|B)times P(B)$的含义。

  两个概率相乘，并不总要理解成两个事件同时发生的概率，其实从其字面意义理解更简单。这里先从全概率公式说起。先看下全概率公式：

$P(B)= sumlimits_{i=1}^nP(B|A_i)P(A_i)$

公式本身很简单，关键是如何来理解它。其实，关键就是如何理解每一个乘积$P(B|A_i)P(A_i)$，它代表什么。我这里给出一个解释：
全概率$P(B)$其实是一个数学期望，它表示事件B发生的概率的期望，假设引起事件B的前因有$i$个，分别是$A_0$到$A_i$，那么事件$B$的发生的概率就成了事件$A_i$的概率组合，它的期望自然而然就是每个原因导致$B$发生的概率，乘以每个原因的概率之和 (这一个解释和信息熵的期望的解释是一样的)。

  请注意，上述解释中，$A_i$是原因，而B是结果。理解了这个全概率公式里关于条件概率乘积的解释，我们就可以理解上述的贝叶斯公式的变形了。