四棱锥和三棱锥重叠求面数

下午和小小在小房间看书，期间看到一道很有意思的题目。

直接放知乎链接吧：
https://www.zhihu.com/question/46747265/answer/394916985
这种题目我一般不会去看平台给出的答案，特别是喜欢瞎逼逼抬杠的知乎。知乎只是一个搜罗问题的平台，别指望在上面找到什么有意义的答案。

我把问题重塑一下吧。

• 有一个等边三棱锥和等边四棱锥，将它们的一个面重合后形成一个新的立体图形，问新的立体图形一共有几个面。

过程如下：

新的图形如下：

如果说要是为了解这个问题，完全没有必要写这么一篇文章，照着公式套用就是了。写这篇文章主要是想要表现一下我的直觉：

• 我一眼就看出来FE和AB是平行的。

这个结论可以直接导出ABEF共面。

得到这样的结论并不需要什么公式，而是靠对对称的感觉：

• FE的延长线不会和AB以及CD的延长线同时相交，不然不对称。
• 想象AC的中点G，BD的中点H，连接FG，EG，GH，EH…
• FE要么和GH延长线相交，要么与之平行。

既然数学不能靠猜测，那就简单证明一下。

首先，你会发现三角形GEF和三角形EGH是全等(根据边边边定理)的。而FGHE是共面的，且角FGE等于角GEH，根据三角形内角和等于180度，自然得到角FGH和角GHE之和等于180度，同旁内角相等，两直线平行。所以FE和AB平行。

两条相交直线构成一个平面，得到ABEF共面，CDEF共面。

因此答案是5个面。

根本不需要复杂的计算。

也许，定性地分析还有更加简单的方法。

AB和CD相交于无限远处(因为它们平行)，而EB和ED相交于E，这是两个极端，那么中间的交点，一定在FE这条和AB，CD平行的线上。三角形AEF是等边三角形，ABEF当然共面了。

Imagine a situation where, in 30 seconds, you could not answer this question and you were killed, would you do it by formula or by intuition?

我选择直觉…然而，关键问题是，你要有知觉啊，啊哈哈。

上去就一大堆公式和推导，这不是解决问题的姿势，这是发现和论证新东西的姿势，但是有多少人拿它来解题呢…

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。