神书《笛卡儿几何》读后感_笛卡尔几何读后感

笛卡儿的《几何》已经读了不下六遍了，这次读的是这个版本：
https://book.douban.com/subject/3422797/

还记得第一次读这本书是在高中一年级刚开学时了，由于一直对几何和历史非常感兴趣，趁着高中新课程《解析几何》还没有开课，我便觉得有读一读经典的必要，目的是想看看这门课程里讲的东西，是如何起源的，以及它最开始是个什么样子。

然而，我承认自己当时没有读懂。

时隔好多年，我在大学期间，工作以后，一直到现在，每到闲暇，便开卷重读包括《几何》在内的这些经典，希望在等心智发生发展变化之后，能够再捞一些新的营养，这便是经典所以为经典的缘由。

下面我根据我在读书过程中get到的point，罗列我的所得，另外，以下《笛卡儿几何》重命名为《几何》，与原始文献相一致。

现代西方科学

之所以我会如此关注笛卡儿的《几何》而不是：

• 牛顿的《自然哲学之数学原理》；
• 也不是欧几里得的《几何原本》；
• 不是亚里士多德的著作；
• 也不是《天体运行论》；
• 亦不是达尔文的《物种起源》；
• 仍不是爱因斯坦的《相对论》；
• 更不是马克思的《资本论》；
• …

原因是，所有这些对现代西方科学的影响，进而对我们生活的现代世界之影响，均没有笛卡儿的著作影响大。

笛卡儿释放的是一种方法论(这肯定不是腾讯公司天天提到的那种字面意义的方法论)，是一种解决问题的统一思路，这种方法论对西方人的思维方式进行了彻底的改造，从而构建了我们目前所看到的现代世界。

《方法论》如果可以总结成Howto，那么有两点：

1. 怀疑一切地思考。
2. 按部就班地去做。

或者总结成一句话， “大胆猜想，小心求证！”

从此以后，实验和理论体系结构同步发展，造就了西方科学技术的寒武纪大爆发。

我们经常会在各种书籍资料上看到 中国在某领域比欧洲的某某早了几千几百年，希腊的某些成就比中国的小说早了几千几百年 ，提升民族自信心无疑这是好的，但无论如何，事实上我们必须清晰地认识到，凡是早了几千几百年却依旧没有造成爆炸性影响力的东西，都是点上的力量，而不是体系化的力量。举个西方自己的例子吧，而且是现代的例子。

微软早在1990年代末就提出了平板电脑的概念，此后包括黑莓，palm在内，各大当时的巨头都有类似的想法，PDA也成了一种奢侈物品代名词，可是早并不意味着成功，重要的是规模，最终成功的不是微软，不是PDA，而是2010前后苹果公司成就的智能手机(衍生了平板电脑)，至此才有了iPhone，安卓引领的移动互联网的寒武纪大爆发，创造了一个新的时代，当时的巨头被现在的巨头替换，苹果，Google，Facebook上位，中国则有了BAT。

关于笛卡儿《几何》的澄清

虽然如此推崇笛卡儿以及其著作，但必须澄清的是，笛卡儿本人并没有提出过平面直角坐标系的概念，也没有直截了当地指明 “一个数对

(

x

,

y

)

(x,y)

(x,y)对应平面上的一个点。”

笛卡儿著作中的所有概念都是模糊的，这一方面是因为在他那个年代，很多概念并没有被澄清，另一方面则是因为笛卡儿本人是谨慎的，他不能也不敢直接推翻以往的结论，而只能半推半就。

不偏不倚地说，薄薄的册子里，笛卡儿似乎没有篇幅讲清楚一切，他也没有能力：

1. 受限于他自己的时代。
2. 受限于他自己的能力。
3. 受限于他自己的勇气。

但是，他却巧妙地做到了，他采用了绕行的策略，就好像费马买了个关子说没地方注解了一样，笛卡儿也用很模糊的证词证明了帕普斯问题的可解性。

说白了，笛卡儿 挑重点的说。 别人在他的基础上创立了一个被称为现代科学的体系。

“前任是错的，只有我是对的”，这恐怕也只有从“惜秦皇汉武…唐宗宋祖…”这首词中才敢直接说出来吧。所以，我们不能苛求古人。

你去读读其它几部经典，《物种起源》完全不像我们生物课本中描述的达尔文的著作，《数学原理》也不像，你去看看UNIX最初的代码，也和我们理解的大相径庭，但是无论如何，这些原始的文献里包含有最最核心的思想，至于后人归纳总结进去的东西，都只是包装。

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《几何》的意义

《几何》奠定了现代数学之根基，它把数学从一种仅仅针对少数聪明人的手艺或者说技艺，演变成了大众化的机械化操作过程。

目前，有人不识五线谱，有人不懂色彩，有人手无缚鸡之力，但没有人不能学数学。

你会发现，很多人思维并不严谨，也不敏捷，甚至没有逻辑，但是他(她)们的数学成绩非常好，即便是最后那道压轴难题完全空着，即便无力解决那些ACM难题，他们也可以依靠自己的细致，认真的演算，整体提高班里的平均成绩。

这给人一种态度，即只要认真，只要苦练，数学就一定能学好，数学不需要天赋，数学和钢琴，美术，体育完全不同。虽然这在更深层次上并不正确，但它对数学的普及以及科学技术的寒武纪大爆发，起到了关键作用。

这便是《几何》的功劳。在《几何》变革后的数学变成了一种机械化过程之后，就像榔头之于铁钉一样，数学演化成了真正的科学的工具，为发展其它自然科学提供了稳定的基础。

秦军为什么可以扫六合？因为秦军士兵以及秦军士兵使用的武器都是标准化可替换的，秦国的战争动员是一个机械化的过程，它甚至对单兵能力没有任何要求，只要满足年龄下限要求，且身体不残疾，便能入伍，秦军对士兵对武器的掌握程度没有要求，因为秦军的武器是标准化的，其操作是简单的，这便可以全民统一机械化操练，这把整个秦国化作了一台永不停歇的战争机器，只要有仗可打，这台战争机器就用不停歇，每个士兵，每件武器都只是这台机器上的一枚可替换的螺丝钉。

《几何》之于自然科学就像秦军之于秦国。

如果以往只有非常有天赋的绝顶聪明的人才能指染数学难题的话，《几何》之后，任何一个修完特定课程的学生，都可以像科学家一样思考和推演。

《几何》不光是数学的统一者，笛卡儿的机械观哲学还深深影响了 “现代西医” ，所谓的 “现代西医” 和 “传统医学” 就是这个时候开始分道扬镳的。西方医学采用机械论的分解模式来解读人体生理，其依据就是笛卡尔 “动物是机器” 的机械自然观。

其实，任何领域，都有一个类似《几何》之于数学这样的角色存在，除了秦军之于魏武卒，还有科举制之于举孝廉，机器工业之于手工作坊等。

一发不可收拾的执念

笛卡儿不是凭空写出《几何》的，他不是突发奇想用一个

(

x

,

y

)

(x,y)

(x,y)来表示几何图形上的一个点的，恕我直言，《几何》通篇都没有给出

(

x

,

y

)

(x,y)

(x,y)的表示法。

人们特有的归纳总结能力让我们普遍认为《几何》里的三篇文章就是整个《解析几何》，就好像我们小学时为课文总结的中心思想一样。

笛卡儿和其它或伟大或普通的人一样，也是从具体的细节问题自下而上开始构建整个体系结构的，而且，直到他的去世，整个体系结构都没有构建完成。

笛卡儿伟大的原因是，他在用他自己的方法解决了一个或者一类细节问题后，一发而不可收。

拥有自己的解题思路和解题步骤并不难，你我都有过，但是一发而不可收却不太易。

一发而不可收需要一种执念，而执念则来自于不满。

笛卡儿执念于 数形结合， 因为他不满于 “希腊人的几何…总要求某种新的奇妙的想法，由于证明过多地依赖图形，它束缚了人们的思想；笛卡儿也不满意当时流行的代数，说它完全从属于法则和公式，以至不成其为一门改进智力的科学…”

笛卡儿在寻找一个统一的方法来解决 所有问题。 注意，是所有问题，而不仅仅是数学问题！这种态度来自于他的方法论：

1．永远不接受任何我自己不清楚的真理，就是说要尽量避免鲁莽和偏见，只能是根据自己的判断非常清楚和确定，没有任何值得怀疑的地方的真理。就是说只要没有经过自己切身体会的问题，不管有什么权威的结论，都可以怀疑。这就是著名的“怀疑一切”理论。例如亚里士多德曾下结论说，女人比男人少两颗牙齿。但事实并非如此。
2．可以将要研究的复杂问题，尽量分解为多个比较简单的小问题，一个一个地分开解决
3．将这些小问题从简单到复杂排列，先从容易解决的问题着手。
4．将所有问题解决后，再综合起来检验，看是否完全，是否将问题彻底解决了。

笛卡儿认为，所有问题都能归结为数学问题，而数学问题的解决需要逻辑和法则，然而古希腊人的欧氏几何公理体系主宰着逻辑，而算术代数主宰着法则，笛卡儿需要一种统一几何和代数的方法，这样，在他看来，就可以解决所有问题了。

数形必须结合。

数形结合

提到数形结合，最朴素的例子就是勾股定理了，我们知道，勾股定理的形式：

a

2

+

b

2

=

c

2

a^2+b^2=c^2

a2+b2=c2

这是一个算术式子，但它说的是一个三角形三条边的数量关系，它的证明更是富于各种奇技淫巧，包括面积法，拼接法，不一而足，掌握了勾股定理的证明，简直就是掌握了一门手艺。

古人往往停步于此并自娱自乐，笛卡儿则不，他需要一种统一的，完备的做法来用几何解决一切代数问题，或者反过来。

我们来看一个 用几何解一元二次方程 的例子。方程如下：

a

x

2

−

b

x

−

c

=

0

ax^2-bx-c=0

ax2−bx−c=0

我们要解出

x

x

x的值。我们不用待定系数法，也不用因式分解，我们用几何的方法。

使用几何解代数问题有个前提，那就是几何图形是可度量的，这样才能用几何关系来表示代数关系。这是后话，在此之前，我们先看个如何 朴素地用几何来解上述一元二次方程 。

所谓的朴素，就是它来自古典欧氏几何的思想。即我们用证明勾股定理的方法来解一元二次方程。

上述方程可以化为：

x

2

−

2

×

b

2

a

x

=

c

a

x^2-2\times \dfrac{b}{2a}x=\dfrac{c}{a}

x2−2×2ab​x=ac​

作图如下：

我们观察

x

2

−

2

×

b

2

a

x

x^2-2\times \dfrac{b}{2a}x

x2−2×2ab​x 它的意思是边长为

x

x

x的大正方形面积减去

2

2

2个边长为

x

x

x，

b

2

a

\dfrac{b}{2a}

2ab​的浅蓝色长方形的面积，重合部分为边长为

b

2

a

\dfrac{b}{2a}

2ab​的深蓝色正方形，它的面积是

(

b

2

a

)

2

(\dfrac{b}{2a})^2

(2ab​)2，被减去了

2

2

2次。那么再加上这个小正方形的面积，整个式子的值就等于边长为

k

k

k的稍大的橘色正方形的面积：

x

2

−

2

×

b

2

a

x

+

(

b

2

a

)

2

=

c

a

+

(

b

2

a

)

2

=

k

2

=

4

a

c

+

b

2

4

a

2

x^2-2\times \dfrac{b}{2a}x+(\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{c}{a}+(\dfrac{b}{2a})^2=k^2=\dfrac{4ac+b^2}{4a^2}

x2−2×2ab​x+(2ab​)2=ac​+(2ab​)2=k2=4a24ac+b2​

所以，

k

k

k的值就是

4

a

c

+

b

2

2

a

\dfrac{\sqrt{4ac+b^2}}{2a}

2a4ac+b2
​​。

看图，

x

x

x的值是两部分的和，它等于：

x

=

4

a

c

+

b

2

2

a

+

b

2

a

=

b

+

4

a

c

+

b

2

2

a

x=\dfrac{\sqrt{4ac+b^2}}{2a}+\dfrac{b}{2a}=\dfrac{b+\sqrt{4ac+b^2}}{2a}

x=2a4ac+b2
​​+2ab​=2ab+4ac+b2
​​

是不是很奇技淫巧，但是却够朴素？

上述的解法来自于贝克曼，他用笛卡儿数形结合的思路记录了方程

x

2

=

6

x

+

7

x^2=6x+7

x2=6x+7的解法：

无论如何，这种方法虽然展示了数形结合，但却是走不远的，因为这种 “几何” 显式的利用了诸如面积这种概念，这使得抽象的推演很难实施。

比如，

a

a

a表示一条边，

b

b

b也是一条边，

a

b

ab

ab就只能是面积，因为欧氏几何框架下，几何量都是有特定维度的具象量，它们必须具有几何意义，所以要求参与计算的量必须是齐次的，否则，一个面积加上一个长度是什么？没有人知道。所以这是不允许的。

笛卡儿必须突破这种齐次运算限制。

换句话说，必须为几何量定义加减乘除四则抽象元算法则。笛卡儿采用了比例的方法。

设

a

a

a是条边，

b

b

b是另一条边，

a

×

b

a\times b

a×b也是一条边，为了计算

a

×

b

a\times b

a×b，笛卡儿引入了 单位量线段 。他如下定义边的乘法：

1. 连接AC；
2. 过D做DE平行于AC，与AC延长线相交于E；
3. EB便是DB与BC相乘的结果。

它的依据在于：

D

B

A

B

=

E

B

C

B

=

D

B

\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{EB}{CB}=DB

ABDB​=CBEB​=DB =>

E

B

=

D

B

×

C

B

=

a

×

b

EB=DB\times CB=a\times b

EB=DB×CB=a×b

同理，除法，开方等操作也可以用这种 “类似欧氏几何尺规作图的可操作方式” 做出来，从此以后，几何量之间的运算便摆脱了受维度限制的几何意义的束缚，两个几何量相乘，不再必须表示面积，三个几何量相乘，也不再必须表示体积。

几何量像代数一样，可以进行抽象的四则混合运算了，数形结合有了突破性进展，但这只是开端。

接下来，笛卡儿提出了一个划时代的解题思路：

• 当要解决某一问题时，我们首先假定解已经得到，并给为了作出此解而似乎要用到的所有线段指定名称，不论它们是已知的还是未知的。然后，在不对已知和未知线段作区分的情况下，利用这些线段间最自然的关系，将难点化解，直至找到这样一种可能，即用两种方式表示同一个量，这将引出一个方程。

这个解题思路把几何关系和方程结合了起来，正式拉通了几何和代数。

方程与几何作图

在笛卡儿新思路的指导下，几何向代数的方向统一了起来。笛卡儿还需要这些几何量的运算均是可作图的，这样才能运用几何的逻辑推理，来解决代数问题，在另一个方向完成类似的统一。

还是上节的例子，我们将其形式变换一下，但不伤大雅。

如果按照笛卡儿新思路，假设我们得到了以下的方程：

z

2

=

a

z

+

b

2

z^2=az+b^2

z2=az+b2

其中，

a

a

a，

b

b

b为已知量，试问，我们如何作出线段，其长度等于

z

z

z。

作一个直角三角形NLM，边LM等于

b

b

b，边LN等于

1

2

a

\dfrac{1}{2}a

21​a，以N为圆心，NL为半径作圆，延长MN与圆相交于O，MO就是

z

z

z：

摆脱齐次约束后，看看

z

z

z的新意义：

z

=

O

N

+

N

M

=

1

2

a

+

1

4

a

2

+

b

2

z=ON+NM=\dfrac{1}{2}a+\sqrt{\dfrac{1}{4}a^2+b^2}

z=ON+NM=21​a+41​a2+b2
​

笛卡儿指出，所有的解方程问题均可以化为此类作图问题。这与欧氏几何的思路完全不同，这里没有面积，没有体积，只有 抽象的几何量 。

接下来，笛卡儿只需要最后一步重要的工作。即 将昔日的极富技巧性的推演步骤转化为标准化的机械算法。

富于技巧性的步骤虽然让人叹为观止，却不具备通用性，而标准化的机械化算法却可以大规模装备到各个领域，任何人只需要按照步骤一步一步来，就能得到正确结果。

当重庆火锅底料变成小包装后，火锅就变得更加风靡全国了，简单步骤即可上桌，不然，很难指望哪个技艺良好的川菜大厨可以手工熬制出正宗的重庆火锅底料。一个道理。

机械化的步骤，还要从笛卡儿对欧氏几何尺规作图的不满说起。

尺规作图与机械作图

欧几里得几何极具技巧。

只要没有刻度的直尺和一把离开纸面便失效(无法二次调整操作)的圆规，就可以完全一个公理体系的构建，这简直太完美了。

但笛卡儿认为这种公理体系后面的技巧不适合解决实际问题。

欧氏几何可以把尺规作图抽象为一系列的机械化步骤，你只要照着步骤做就能完成任意复杂的作图，但是却把除了尺规之外的其它 工具 排除在外，认为那些复杂的工具所完成的作图 不是几何的 ，而是 机械的 。

但是笛卡儿不认同这个观点。

笛卡儿认为直尺和圆规也是机械的，和其它的工具是同等的。如果非要排除其它复杂的工具，那尺规也应该被排除。

把作图工具拓展了之后，几何的外延也拓展了，除了朴素的欧氏几何图形外，更加复杂的几何元素也被认为是基础几何了。

尺规作图，用平面截圆锥截面，机械作图，它们在笛卡儿的方法下，变得统一了。

你得到了稀奇古怪的几何图形，不管它多么复杂，不管它是既不能仅用直尺和圆规来作出来，也无法用平面去截圆锥将其截出来，只要它能表示成一系列的方程，那么它就是基本的几何图形。

这里便隐含了非常重要的结论！

是的，我们可能无法用尺规将这个几何图形画出来，甚至无法想象出可能将其画出来的“机械装置”长什么样子，但是我们可以 描点 啊！

万事俱备，对传统的宣战来自于笛卡儿运用其新思路为帕普斯问题得到的一个新的解法。

帕普斯问题

这里不赘述帕普斯问题，细节请自行查阅相关资料文献。

帕普斯问题大致意思是要求一个或者一些点

C

C

C，它满足到已知若干条固定直线的夹角是若干固定的值以及其它一些限制条件。

笛卡儿按照其新思路对图形的元素进行了巧妙的设定：

经过代数运算和机械推演，最终，笛卡儿得到了一个关于

x

x

x和

y

y

y的方程，给定一个

x

x

x，就能求出一个

y

y

y，由于线段A，线段B，线段C，…这些都是固定的，所以点O是固定的，给定一个

x

x

x，则点R便固定，由于夹角

p

p

p固定，按照方程求出

y

y

y，便可以求出点C的位置。

随意给出一个

x

x

x，就能得到(可能)不同的

y

y

y，因此C不止一个，把这些C点绘制出来，便是一个几何图形。诚然，C点的集合不是尺规作图作出来的，也没有事先想明白能把它做出来的机械装置的样子，但是它确实被绘制出来了，依托方程式被绘制出来了。

点O，直线A，点R，

y

y

y组成了笛卡尔坐标系的雏形。按照现代的术语来说，这是一个斜坐标系。

在解决帕普斯问题的时候，笛卡儿显然还没有使用平面直角坐标系，他甚至都不知道坐标系这回事，但很显然，这里面蕴含的东西，它就是坐标系。

曲线和变量

帕普斯问题的笛卡儿解是一个划时代的创举！

它标志着：

• 基本几何图形可以脱离尺规作图而存在，几何是方程的，方程是图形。
• 常量数学走向了变量数学。(未知量多于约束条件)

联立方程数量小于未知变量数量时，这就是不定方程(组)，曾经解这类方程需要各种奇技淫巧，如今便可利用图形，人们开始推演各种曲线方程的意义和性质。

变量数学直接导致了微积分的诞生，后者极大地促进了以物理学为代表的几乎所有学科的发展，自然科学正式从哲学，神学中分离了出来。

可操作性的实例

求阴影部分的面积 我想几乎所有人小时候都遇到过，但其实是老师在求大家心里阴影部分的面积吧。为什么到了高中，大学，这种题目就越来越少了呢？

因为微积分是一把万能钥匙：

S

=

∫

a

b

f

(

x

)

d

x

S=\displaystyle \int_a^bf(x)dx

S=∫ab​f(x)dx

如果实在不好求

f

(

x

)

f(x)

f(x)的表达式，不是还可以拟合的么？大不了就一个个描点呗…

如果没有微积分，我想各种奇技淫巧会纷至沓来，切割一块补另一块，抵消两部分，化不规则为规则…而能想出这些鬼点子的一般会被老师认为是绝顶聪明的学生，然而随便捞一个中下等的但是懂微积分的，按照既定的规则硬算，吊打最聪明的学生不成问题(前提是最聪明的学生不能用微积分)。

本质上，微积分以坐标系发挥作用，而它背后的哲学则是变量数学。

这个例子有点low了吧，那么我们换一个。

这就是图灵机。

图灵机本质上就是一台笛卡儿样式的机器，无论什么问题，一步一步操作，就能得到结果。基于图灵机的现代计算机意图将所有问题都归结为算法问题，这是一个笛卡儿分析的过程。

但是并不意味着笛卡儿分析可以解决所有问题。

有点难了不是？来点儿接地气的。

笛卡儿在推演过程中不区分已知量和未知量，于是字母表从后往前

x

x

x，

y

y

y，

z

z

z用来表示未知量，从前往后

a

a

a，

b

b

b，

c

c

c开始表示已知量，这种方式几乎成了约定俗成，直到今天，我们依然还在采用。

笛卡儿的哲学观

笛卡儿是重分析而轻综合的。

浏览笛卡儿的《方法论》，他倾向于 一步一步地接近事情的真相。 每一步都是机械的可操作的。

在笛卡儿对欧氏几何进行革命性改造的时候，他其实是充满矛盾心理的。欧氏几何的尺规作图本质上就是 一步一步的Howto ，欧氏几何的所有问题都是在5条公设下的机械步骤可解的问题，这和笛卡儿的哲学观不谋而合。

但是笛卡儿觉得欧氏几何太严格了。这种严格性阻碍了它的继续发展。时代变了，几何学也必须发展，于是他把代数的规则融入到了几何，最终形成了解析几何。

前面提到过，不光是数学，几乎所有的西方现代自然科学或多或少地都被笛卡儿的哲学观所影响，比如现代医学，也就是我们中国人常常说的西医。现代西医也是在机械观的指导下形成和发展的。它强调：

• 每个步骤是可解释的。
• 如果不可解释，便承认它是不明确的。

我们在西药的药瓶子或者指导说明书上经常看到上面的两点佐证。

然而，笛卡儿一定是正确的吗？在论及中医和西医哪个正确时，其实是在论证综合和分析哪个正确，你觉得呢？

笛卡儿创造了基于分析的科学体系，谁来创造基于综合的科学体系呢？

只有分析，没有综合，或者说重分析，轻综合，这是目前的现状。

回到图灵机和现代计算机，希望AI用算法解决所有问题，这合理吗？笛卡儿本人最终没能证明他的方法论是正确的，当然，也没有被证伪。这便是困局。

整个西方科学体系已经如此强大到看似要统治一切，他们坚信一切都可以归为算法问题，却没有任何证据证明其根基的稳定性。

如果问什么是道，你说， 道，可道非常道 ，必然有一堆人喷你故弄玄虚，他们背后的靠山正是笛卡儿，而 “道” 没有靠山，至少目前没有。

…

无论如何，致敬伟大的 勒内·笛卡儿（Rene Descartes，1596-1650)

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浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。