两个圆的公切线

两个圆的公切线

圆上任意一点拥有唯一的圆心角

struct circle{
    Point p;
    double r;
    // 通过圆心角求圆上某一点
    Point point(double a){
        return Point(p.x + cos(a) * r, c.y + sin(a) * r);
    }
}

根据两个圆的位置关系来确定情况

1. 两个圆内含，没有公共点，没有公切线
2. 两圆内切，有一个条公切线
3. 两圆完全重合，有无数条公切线
4. 两圆相交。有2条公切线
5. 两圆外切，有3条公切线
6. 两圆相离，有4条公切线

1 与 3 什么都不求，情况 2 可以直接求出直线AB的极角进而转换为圆心角来求切点，连接切点和圆心，旋转90度即可得到切线。

情况 4 有两条外公切线，求出圆心距 (d) 以及(|AG|) 即可求出 (alpha) 的大小，根据 (vec{AB}) 的极角进行旋转即可求出切点，进而得到切线

情况 5 的内切线类似情况2

情况 6 的外公切线与情况4完全一样

情况 6 的内切线也是先求出圆心角 (alpha) ，如何求？(cos alpha = frac{A_r+B_r}{|AB|})

// a[i] 存放第 i 条公切线与 圆A 的交点
int getTangents(circle A, circle B, Point*a, Point *b){
    int cnt = 0;
    // 以A为半径更大的那个圆进行计算
    if(A.r < B.r) return getTangents(B, A, b, a);
    db d2 = (A.p-B.p).len2();  // 圆心距平方
    db rdiff = A.r - B.r;       // 半径差
    db rsum = A.r + B.r;        //半径和
    if(d2 < rdiff * rdiff) return 0;     // 情况1，内含,没有公切线
    Vector AB = B.p - A.p;              // 向量AB，其模对应圆心距
    db base = atan2(AB.y, AB.x);        // 求出向量AB对应的极角
    if(d2 == 0 && A.r == B.r) return -1;// 情况3，两个圆重合，无限多切线
    if(d2 == rdiff * rdiff){            // 情况2，内切，有一条公切线
        a[cnt] = A.point(base);         
        b[cnt] = B.point(base);cnt++;
        return 1;
    }
    // 求外公切线
    db ang = acos((A.r - B.r) / sqrt(d2)); //求阿尔法
    // 两条外公切线
    a[cnt] = A.point(base+ang); b[cnt] = B.point(base+ang); cnt++;
    a[cnt] = A.point(base-ang); b[cnt] = B.point(base-ang); cnt++;
    if(d2 == rsum * rsum){  // 情况5，外切，if里面求出内公切线
        a[cnt] = A.point(base); b[cnt] = B.point(pi+base); cnt++;
    }
    else if(d2 > rsum * rsum){   //情况6，相离，再求出内公切线
        db ang = acos((A.r + B.r) / sqrt(d2));
        a[cnt] = A.point(base + ang); b[cnt] = B.point(pi+base+ang);cnt++;
        a[cnt] = A.point(base - ang); b[cnt] = B.point(pi+base-ang);cnt++;
    }
    // 此时，d2 < rsum * rsum 代表情况 4 只有两条外公切线
    return cnt;
}

例题测试：https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/courses/library/4/CGL/7/CGL_7_G