线段树

线段树是所有 RMQ 中最常用的数据结构。

功能：区间修改区间查询。不止最值、求和。只要可递推的值都可以构造线段树。

如果区间大小为 \(n\)，线段树有 \(cnt\) 个节点，那么 \(2n-1\le cnt<4n\)。

节点

对于每个节点 \(x\)，和堆类似，父亲节点为 \(x>>1\)（即 \(x/2\) 下取整的位运算方法，位运算方便而且快），左儿子为 \(x<<1\)（即 \(2x\)），右儿子为 \(x<<1|1\)（即 \(2x+1\)）。

同时每个节点对应一段区间，所以叫线段树。节点 \(1\) 对应的区间为 \(1\sim n\)。设一个节点对应的区间为 \(l\sim r\)，那么它的左儿子对应的区间就是 \(l\sim mid\)，其中 \(mid=(l+r)>>1\)，右儿子区间为 \(mid+1\sim r\)。如果一个节点对应单点区间，就没有儿子。

同时每个节点对应一个值，即该区间的 RMQ 值。如果是求最值问题，就表示该区间最大值；如果是求和问题，就表示该区间的和。

操作（单点修改区间查询）

一个线段树是求和还是求最值或者求别的东西，取决于 \(pushup(k)\) 函数，其中 \(k\) 为节点编号，时间复杂度 \(O(1)\)。

void pushup(int k){v[k]=max(v[k<<1],v[k<<1|1]);}//求最大值

根据原序列构造初始的线段树用 \(build()\) 函数，单点节点上的值就为单点的值，递归从下到上构造，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

void build(int k=1,int l=1,int r=n){//表示外部应用默认k=1,l=1,r=n
    if(l==r){v[k]=a[l];return;} //单点节点
    build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r); //递归构造
    pushup(k); //递推
}

先讲单点修改（加上 \(y\)），只需与 \(build()\) 函数类似的递归操作即可，如果到达单点节点，就修改，不走那些跟查询单点没关系的区间、别忘了修改完后也要递推，时间复杂度 \(O(\log n)\)。

void fix(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
    if(l==x&&r==x){v[k]+=y;return;} //单点修改
    if(mid>=x) fix(x,y,k<<1,l,mid); //递归左儿子
    else fix(x,y,k<<1|1,mid+1,r); //递归右儿子
    pushup(k);//递推
}

区间查询，如果单前节点在查询区间内，就返回值。否则，递归左儿子右儿子，递推得区间查询值。时间复杂度 \(O(\log n)\)，因为只会走相关的 \(\log n\) 个节点。

int fmax(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
    if(x<=l&&r<=y) return v[k]; //在查找区间内，返回值
    int res=0;
    if(mid>=x) res=max(res,fmax(x,y,k<<1,l,mid));
    if(mid<y) res=max(res,fmax(x,y,k<<1|1,mid+1,r));
    return res;
}

总时间复杂度 \(O(n\log n)\) ，全代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,a[N];
namespace Sumtree{
    #define mid ((l+r)>>1)
    int v[N<<2];
    void pushup(int k){v[k]=max(v[k<<1],v[k<<1|1]);}
    void build(int k=1,int l=1,int r=n){
        if(l==r){v[k]=a[l];return;}
        build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r);
        pushup(k);
    }
    void fix(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
        if(l==x&&r==x){v[k]+=y;return;}
        if(mid>=x) fix(x,y,k<<1,l,mid);
        else fix(x,y,k<<1|1,mid+1,r);
        pushup(k);
    }
    int fmax(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
        if(x<=l&&r<=y) return v[k];
        int res=0;
        if(mid>=x) res=max(res,fmax(x,y,k<<1,l,mid));
        if(mid<y) res=max(res,fmax(x,y,k<<1|1,mid+1,r));
        return res;
    }
    #undef mid
}using namespace Sumtree;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",a+i);
    build();
    for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        if(x==1) fix(y,z);
        else printf("%d\n",fmax(y,z));
    }
    return 0;
}

线段树如果只能单点修改区间查询，代码还这么长，就没人用他了。所以可想而知，线段树还可以区间修改，区间查询。

操作（区间修改区间查询）

先看如何区间修改，初学者会这么写：

void fix(int x,int y,int z,int k=1,int l=1,int r=n){
    if(x<=l&&r<=y){v[k]+=z;return;}
    if(mid>=x) fix(x,y,z,k<<1,l,mid);
    if(mid<y) fix(x,y,z,k<<1|1,mid+1,r);
    pushup(k);
}

问题是这样的话对于每个区间属于 \([x,y]\) 的节点，它的子节点就会没被修改。

初学者还可能这么写：

void fix(int x,int y,int z,int k=1,int l=1,int r=n){
    if(l==r){v[k]+=z;return;}
    if(mid>=x) fix(x,y,z,k<<1,l,mid);
    if(mid<y) fix(x,y,z,k<<1|1,mid+1,r);
    pushup(k);
}

问题在于时间复杂度为 \(O(n)\)。

那么区间修改的主角就要出场了——懒标记（\(\texttt{lazytag}\)）。对于每个节点，多加一个值，\(mk[]\)。\(mk[x]\) 表示 \(x\) 节点的标记。每次修改在前面那个初学者的代码上加上终止区间懒标记。

void fix(int x,int y,int z,int k=1,int l=1,int r=n){
    if(x<=l&&r<=y){v[k]+=z,mk[k]+=z;return;}
    pushdown(k);
    if(mid>=x) fix(x,y,z,k<<1,l,mid);
    if(mid<y) fix(x,y,z,k<<1|1,mid+1,r);
    pushup(k);
}

这时你注意到了上方代码第 \(3\) 行有一个 \(pushdown(k)\)，那就是一个专门用来处理懒标记的函数，负责把标记下放，时间复杂度为 \(O(1)\)。

void pushdown(int k){
    if(!mk[k]) return;
    v[k<<1]+=mk[k],v[k<<1|1]+=mk[k];
    mk[k<<1]+=mk[k],mk[k<<1|1]+=mk[k],mk[k]=0;
}

有了它，区间修改就没必要一直修改到单点了，可以修改到所属区间，然后记下懒标记。下次到这个区间的时候把它 \(pushdown\) 下放。

然后区间修改区间查询的代码就是这样：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,a[N];
namespace Sumtree{
    #define mid ((l+r)>>1)
    int v[N<<2],mk[N<<2];
    void pushup(int k){v[k]=max(v[k<<1],v[k<<1|1]);}
    void pushdown(int k){
        if(!mk[k]) return;
        v[k<<1]+=mk[k],v[k<<1|1]+=mk[k];
        mk[k<<1]+=mk[k],mk[k<<1|1]+=mk[k],mk[k]=0;
    }
    void build(int k=1,int l=1,int r=n){
        mk[k]=0;
        if(l==r){v[k]=a[l];return;}
        build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r);
        pushup(k);
    }
    void fix(int x,int y,int z,int k=1,int l=1,int r=n){
        if(x<=l&&r<=y){v[k]+=z,mk[k]+=z;return;}
        pushdown(k);
        if(mid>=x) fix(x,y,z,k<<1,l,mid);
        if(mid<y) fix(x,y,z,k<<1|1,mid+1,r);
        pushup(k);
    }
    int fmax(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
        if(x<=l&&r<=y) return v[k];
        pushdown(k);
        int res=0;
        if(mid>=x) res=max(res,fmax(x,y,k<<1,l,mid));
        if(mid<y) res=max(res,fmax(x,y,k<<1|1,mid+1,r));
        return res;
    }
    #undef mid
}using namespace Sumtree;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",a+i);
    build();
    for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
        scanf("%d",&x);
        if(x==1) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),fix(x,y,z);
        else scanf("%d%d",&x,&y),printf("%d\n",fmax(x,y));
    }
    return 0;
}

时间复杂度还是 \(O(n\log n)\) 的。

线段树有个经典例题，可以帮助你弄懂线段树的其他操作。

[USACO08FEB]酒店Hotel

第一行输入 \(n\)，\(m\)。\(n\) 代表有 \(n\) 个房间，编号为 \(1\sim n\)，开始都为空房。\(m\) 表示以下有 \(m\) 行操作，以下每行先输入一个数 \(i\)，表示一种操作：

若 \(i\) 为1，表示查询房间。再输入一个数 \(x\)，表示在 \(1\sim n\) 房间中找到长度为 \(x\) 的连续空房，输出连续 \(x\) 个房间中左端的房间号，尽量让这个房间号最小。若找不到长度为 \(x\) 的连续空房，输出\(0\)。并且在这 \(x\) 个空房间中住上人。

若 \(i\) 为 \(2\)，表示退房，再输入两个数 \(x\)，\(y\) 代表 房间号 \(x\sim x+y-1\) 退房，即让房间为空。

讲解：

那么这题中每个线段树节点需要有四个值：

\(\texttt{lf[k]：}\)\(k\) 这个节点区间从左边开始连续空房数。
\(\texttt{rt[k]：}\)\(k\) 这个节点区间从右边开始连续空房数。
\(\texttt{v[k]：}\)\(k\) 这个节点区间内最长的连续空房数。
\(\texttt{mk[k]：}\)\(k\) 这个节点退房、住人区间修改懒标记。

所以有递推式（其中 \(?\) 为三目运算符）：

void pushup(int k,int l,int r){
    int mid=(l+r)>>1;
    lf[k]=lf[k<<1]==mid-l+1?lf[k<<1]+lf[k<<1|1]:lf[k<<1];
    rt[k]=rt[k<<1|1]==r-mid?rt[k<<1|1]+rt[k<<1]:rt[k<<1|1];
    v[k]=max(max(v[k<<1],v[k<<1|1]),rt[k<<1]+lf[k<<1|1]);
}

可以这么初始化：

void build(int k=1,int l=1,int r=n){
    mk[k]=-1;
    if(l==r){lf[k]=rt[k]=v[k]=1;return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r);
    pushup(k,l,r);
}

重点在于怎么查询。如下代码，\(find(x,k,l,r)\) 表示寻找 \(k\) 这个节点区间里寻找最左的连续 \(x\) 空房。

int find(int x,int k=1,int l=1,int r=n){
    if(v[k]<x) return -1; //如果区间内最长连续空房小于x，逃
    int mid=(l+r)>>1;
    pushdown(k,l,r);//千万别忘了pushdown
    if(v[k<<1]>=x) return find(x,k<<1,l,mid); //如果左儿子有满足要求的区间，返回左儿子满足要求的区间左端点
    if(rt[k<<1]+lf[k<<1|1]>=x) return mid-rt[k<<1]+1;//如果满足区间横跨左右儿子区间，返回横跨区间左端点
    return find(x,k<<1|1,mid+1,r);//返回右儿子满足区间左端点
}

可以发现，这个代码的时间复杂度也是 \(O(n\log n)\) 的。

蒟蒻的 \(\color{#44cc00}{\texttt{AC}}\) 代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+10;
int n,m;
namespace sumtree{
    int lf[N<<2],rt[N<<2],v[N<<2],mk[N<<2];
    void pushup(int k,int l,int r){
        int mid=(l+r)>>1;
        lf[k]=lf[k<<1]==mid-l+1?lf[k<<1]+lf[k<<1|1]:lf[k<<1];
        rt[k]=rt[k<<1|1]==r-mid?rt[k<<1|1]+rt[k<<1]:rt[k<<1|1];
        v[k]=max(max(v[k<<1],v[k<<1|1]),rt[k<<1]+lf[k<<1|1]);
    }
    void pushdown(int k,int l,int r){
        if(mk[k]==-1) return;
        int mid=(l+r)>>1;
        lf[k<<1]=rt[k<<1]=v[k<<1]=(!mk[k])*(mid-l+1);
        lf[k<<1|1]=rt[k<<1|1]=v[k<<1|1]=(!mk[k])*(r-mid);
        mk[k<<1]=mk[k<<1|1]=mk[k],mk[k]=-1;
    }
    void build(int k=1,int l=1,int r=n){
        mk[k]=-1;
        if(l==r){lf[k]=rt[k]=v[k]=1;return;}
        int mid=(l+r)>>1;
        build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r);
        pushup(k,l,r);
    }
    int find(int x,int k=1,int l=1,int r=n){
        if(v[k]<x) return -1;
        if(l==r) return l;
        int mid=(l+r)>>1;
        pushdown(k,l,r);
        if(v[k<<1]>=x) return find(x,k<<1,l,mid);
        if(rt[k<<1]+lf[k<<1|1]>=x) return mid-rt[k<<1]+1;
        return find(x,k<<1|1,mid+1,r);
    }
    void clear(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
        if(x<=l&&r<=y){
            lf[k]=rt[k]=v[k]=r-l+1;
            mk[k]=0; return;
        }
        pushdown(k,l,r);
        int mid=(l+r)>>1;
        if(mid>=x) clear(x,y,k<<1,l,mid);
        if(mid<y) clear(x,y,k<<1|1,mid+1,r);
        pushup(k,l,r);
    }
    void full(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
        if(x<=l&&r<=y){
            lf[k]=rt[k]=v[k]=0;
            mk[k]=1; return;
        }
        pushdown(k,l,r);
        int mid=(l+r)>>1;
        if(mid>=x) full(x,y,k<<1,l,mid);
        if(mid<y) full(x,y,k<<1|1,mid+1,r);
        pushup(k,l,r);
    }
}using namespace sumtree;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    build();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int op,x,y;
        scanf("%d",&op);
        if(op==1){
            scanf("%d",&y);
            if((x=find(y))==-1) puts("0");
            else {
                printf("%d\n",x);
                full(x,x+y-1);
            }
        } else {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            clear(x,x+y-1);
        }
    }
    return 0;
}

关于线段树有很多后续知识，如线段树合并，线段树分裂，可持久化线段树（主席树）等，学习千万不能停止脚步。

同时，线段树的题目千变万化，建议多练练线段树的题。

祝大家学习愉快！