[WC2018]州区划分（FWT，FST）

[WC2018]州区划分（FWT，FST）

Luogu

loj

题解时间

经典FST。

在此之前似乎用到FST的题并不多？

首先预处理一个子集是不是欧拉回路很简单，判断是否连通且度数均为偶数即可。

考虑朴素状压dp很容易得到 $ f_{ S } = \sum\limits_{ T \subseteq S } f_{ S - T } \times ( \frac{ val_{ T } }{ val_{ S } } )^{p} $ 。

直接dp时间复杂度 $ 3^{ N } $ 当场去世。

但由于是经典的子集运算，考虑FST。

就是将数组加一维，只有1的个数对应的一维的该位才有值。

这样就能保证产生贡献的集合对不相交。

预处理好 $ val_{ S }^{ p } $ 记作 $ g_{S} $ ，并将其加一维用于FST。

方程变为 $ f[i][S] = \sum\limits_{ j = 1 }^{i}\sum\limits_{ T \subseteq S }\frac{ f[j][T] \times g[i-j][S-T] }{ val_{ S }^{ p } } $ 。

预处理欧拉回路和dp过程都是 $ n^{2} \times \log n $ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long lint;
struct pat{int x,y;pat(int x=0,int y=0):x(x),y(y){}bool operator<(const pat &p)const{return x==p.x?y<p.y:x<p.x;}};
template<typename TP>inline void read(TP &tar)
{
    TP ret=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){ret=ret*10+(ch-'0');ch=getchar();}
    tar=ret*f;
}
namespace RKK
{
const int S=1<<21,N=22;
const int mo=998244353;
void doadd(lint &a,lint b){if((a+=b)>=mo) a-=mo;}
int bcnt(int x){return __builtin_popcount(x);}
int lbit(int x){return __builtin_ffs(x);}
int inv[5011];void init(){inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=5000;i++) inv[i]=1ll*inv[mo%i]*(mo-mo/i)%mo;}
int n,m,tp,w[N],mp[N][N];
lint dp[N][S],dg[S];
lint f[S],g[N][S];//城市集合的\sum w,fst为了防止重复要按照1的个数分层
int fa[N];int find(int x){return fa[x]==fa[fa[x]]?fa[x]:fa[x]=find(fa[x]);}
int deg[N],lst[N],ln;
int check(int s)
{
    ln=0;for(int i=1;i<=n;i++)if((s>>i-1)&1) fa[i]=i,deg[i]=0,lst[++ln]=i;
    for(int i=1;i<=ln;i++)for(int j=i+1;j<=ln;j++)if(mp[lst[i]][lst[j]])
        deg[lst[i]]++,deg[lst[j]]++,fa[find(lst[i])]=find(lst[j]);
    for(int i=1;i<=ln;i++)if(find(lst[i])!=find(lst[1])||(deg[lst[i]]&1)) return 1;
    return 0;
}
void fwtor(lint *a,int len,int tp)
{
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
        for(int j=0;j<len;j+=i<<1)
            for(int k=0;k<i;++k)
                doadd(a[j+k+i],~tp?a[j+k]:mo-a[j+k]);
}
lint cal(lint x)
{
    if(tp==0) return 1;
    else if(tp==1) return x;
    else return x*x%mo;
}
int main()
{
    init();read(n),read(m),read(tp);int ful=1<<n;
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++) read(x),read(y),mp[x][y]=mp[y][x]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) read(w[i]);
    for(int s=1;s<ful;s++) f[s]=w[lbit(s)]+f[s^(s&-s)],g[bcnt(s)][s]=check(s)*cal(f[s]);
    for(int i=1;i<=n;i++) fwtor(g[i],ful,1);
    dp[0][0]=dg[0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(i) fwtor(dp[i],ful,-1);
        for(int s=0;s<ful;s++)
            dg[s]=(i==bcnt(s))?dp[i][s]*cal(inv[f[s]])%mo:0ll;
        fwtor(dg,ful,1);
        for(int j=1;i+j<=n;j++)for(int s=0;s<ful;s++)
            doadd(dp[i+j][s],dg[s]*g[j][s]%mo);
    }
    fwtor(dp[n],ful,-1);
    printf("%lld\n",dp[n][ful-1]*cal(inv[f[ful-1]])%mo);
    return 0;
}
}
int main(){return RKK::main();}