Milk Pumping G&Milk Routing S

双倍经验时间

洛谷P5837 [USACO19DEC]Milk Pumping G

洛谷P3063 [USACO12DEC]Milk Routing S

题目模型

给定\(N\)个点和\(M\)条边，对于每条边，给定连接的两个端点以及这条边的花费和“流量”

1. 设这条路径上所有边的花费总和为\(L\)

2. 设这条路径上所有边中“流量”值最小的为\(C\)

要求找出一条\(1\)到\(N\)的路径满足：\(L\)尽可能小的同时\(C\)尽可能大（注意是一条路径上的L和C）

解题思路

如果是单独求\(L\)或者\(C\)中的一个，那么我们很容易便能解决

但是如果要求同时维护\(L\)和\(C\)两个值，而且这两个值还是矛盾的，那我们怎么做呢？

（这里的矛盾指：\(L\)要尽量小，而同一条道路的\(C\)又要尽量大）

• First

首先我们先来考虑用一个最短路同时维护这两个值，但经过一番思索，我们会发现无法做到

为什么？因为这两个值矛盾啊！相矛盾的两个值怎么能在同一个最短路中解决呢？

• Second

否定了同时维护的想法，我们只能考虑分开维护，分开维护？多个最短路？

肯定也不行，为什么？维护出来的\(L\)、\(C\)分别对应的最短路径不一定是同一条啊！最短路径都不是同一条那\(L\)、\(C\)怎么会相对应呢？

• Third

同时维护和分开维护都不行，那怎么做？

枚举

什么意思？

我们要维护对应的两个值，那我们可以枚举其中一个值，然后再在枚举的这个值的基础上去寻找对应的另一个值呀！

怎么实现呢？

假设我们枚举\(Ci\)，然后跑最短路去求解对应的\(Li\)，在跑最短路时判断当前点\(v\)的\(Cv\)值是否小于\(Ci\)，如果小于那么就不管这个点（因为我们枚举的\(Ci\)已经是假定的最小流量值，那么所有小于\(Ci\)肯定没有用）

为什么\(Ci\)是假定的最小流量值？不是求最大的\(C\)吗？

我们不断枚举\(Ci\)，找到所有对应的\(Li\)，然后用一个\(ans\)来记录最终的答案，最终找到的一定是最大的\(C\)和最小的\(L\)

代码Code

• 洛谷P5837 [USACO19DEC]Milk Pumping G 代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a,b,c,f,tot,ans;
int dis[100010],vis[100010],head[100010];
priority_queue<pair<int,int> > shan;

struct node {
    int to,net,liu,val;
} e[100010];

inline void add(int u,int v,int w,int l) {
    e[++tot].to=v;
    e[tot].net=head[u];
    e[tot].liu=l;
    e[tot].val=w;
    head[u]=tot;
}

inline void dijkstra(int l) {
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dis[1]=0;
    shan.push(make_pair(0,1));
    while(!shan.empty()) {
        int x=shan.top().second;
        shan.pop();
        if(vis[x]==1) continue;
        vis[x]=1;
        for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
            int v=e[i].to;
            if(e[i].liu<l) continue;
            if(dis[v]>dis[x]+e[i].val) {
                dis[v]=dis[x]+e[i].val;
                shan.push(make_pair(-dis[v],v));
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(register int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&f);
        add(a,b,c,f);
        add(b,a,c,f);
    }
    for(register int li=1;li<=1000;li++) {
        dijkstra(li);
        if(dis[n]!=0x3f) ans=max(ans,li*1000000/dis[n]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

• 洛谷P3063 [USACO12DEC]Milk Routing S 代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,x,u,v,w,c,tot,ans=20050206;
int dis[510005],vis[510005],head[510005],flag[510005];
priority_queue<pair<int,int> > shan;

struct node {
    int to,net,val,liu;
} e[510005];

inline void add(int u,int v,int w,int l) {
    e[++tot].to=v;
    e[tot].val=w;
    e[tot].liu=l;
    e[tot].net=head[u];
    head[u]=tot;
}

inline void dijkstra(int li) {
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        vis[i]=0;
        dis[i]=20050206;
    }
    dis[1]=0;
    shan.push(make_pair(0,1));
    while(!shan.empty()) {
        int xx=shan.top().second;
        shan.pop();
        if(vis[xx]) continue;
        vis[xx]=1;
        for(register int i=head[xx];i;i=e[i].net) {
            int v=e[i].to;
            if(e[i].liu<li) continue;
            if(dis[v]>dis[xx]+e[i].val) {
                dis[v]=dis[xx]+e[i].val;
                shan.push(make_pair(-dis[v],v));
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&x);
    for(register int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&w,&c);
        flag[i]=c;
        add(u,v,w,c);
        add(v,u,w,c);
    }
    for(register int i=1;i<=m;i++) {
        dijkstra(flag[i]);
        if(dis[n]!=20050206) ans=min(ans,dis[n]+x/flag[i]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

自认为讲得还是很详细的，如果还有什么不懂的欢迎留言qwq

最后，感谢一下RHL大佬对我的指导