前缀和

前缀和顾名思义就是前x个数组元素之和，二维前缀和就是(1, 1)到(i, j)中矩形内所有元素的和。

<1.一维数组前缀和

直接累加就好，代码如下：

void solve()
{
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&arr[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+arr[i];
    }
    int l,r;
    scanf("%d %d",&l,&r);
    printf("%d\n",sum[r]-sum[l-1]);     //查询[l,r]的区间和
}

<2.二维数组前缀和

其实就一个式子： $$sum[i][j] = sum[i][j-1] + sum[i-1][j] - sum[i-1][j-1] + arr[i][j];$$ 画个图就能理解， 代码如下：

void solve()
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)       //n*m的数组只需将第二个for循环的条件改为m
            scanf("%d",&arr[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)       //n*m同样需换为j<=m
            sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+arr[i][j];
    int x1,y1,x2,y2;                //需求的区间和的左上角和右下角的下标
    scanf("%d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2);       
    printf("%d\n",sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]);
}

例题：bzoj 1218，求最大的边长为R的正方形的区间和：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn=5005;
int arr[maxn][maxn],sum[maxn][maxn];
int x,y,val,n,r;
int ans=-0x3f3f3f3f;
int xi,yi;

int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&r);
    xi=yi=r;                //这步很关键，防止在下面遍历的时候出现xi<r||yi<r的情况
    for (int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&val);
        arr[x+1][y+1]=val;
        xi=max(xi,x+1);
        yi=max(yi,y+1);
    }
    for(int i=1;i<=xi;++i)
        for(int j=1;j<=yi;++j)
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+arr[i][j];
    for(int i=r;i<=xi;++i){
        for(int j=r;j<=yi;++j){
            int temp=sum[i][j]-sum[i-r][j]-sum[i][j-r]+sum[i-r][j-r];
            ans=max(ans,temp);
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    system("pause");
}