ST表(Sparse Table 稀疏表)
用处:
可以用来解决RMQ(区间最值)等可重复贡献问题[1]。
引入:
对于RMQ问题,我们通常有这几种方法处理:
-
朴素(即搜索)(O(nm))
-
打表 (O(n^2))
-
ST表 (O(nlogn))
-
线段树 (O(nlogn))
我们比较容易想到用打表的方法,也就是比较简单的dp,像这样:
定义 (ans[i][j]) 表示区间 ([i,j]) 的最值
(begin{cases}
ans[i][j] = a[i] , i = j\\
ans[i][j] = max(ans[i][j-1], a[j])
end{cases})
可是这样的空间复杂度 (O(n^2)) 时间复杂度 (O(n^2)) 不是很令人满意,所以我们考虑用ST表来处理静态(mathrm{(offline)})的RMQ问题。
分析:
要求解一个区间的最值,ST表用了类似区间dp的方法。
(dp[i][j]) 表示的是从 (i) 开始,长度为 (2^j) 的区间中的最值。也就是区间 ([i,2^j+i-1]) 的最值。
对于每一次询问,我们可以通过 (l) 和 (r) 算得区间的长度 (len) ,然后计算 $$j = lfloor log_{2}{len} rfloor$$ 最大值就是 $$max(dp[l][j], dp[r-2^j+1][j])$$
就像这样:
就是在这两段有重叠部分的区间取其中的最大值,重叠并不会影响 ([l,r]) 区间的最大值。
预处理:
首先,当区间长度为0时,区间的最值就是区间端点的值。即 (dp[i][0] = a[i])
然后开始类似区间dp的处理方法。
先枚举区间长度,再枚举区间端点。
]
这里的 (j-1) 相当于将区间对半分,整个的最值等于左边和右边取最值。
代码:
for (int j = 1; j <= log2(n); j++)
for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++)
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
查询:
和分析中说的一样
代码:
int query(int l, int r)
{
int j = (int)log2(r - l + 1);
return max(dp[l][j], dp[r - (1 << j) + 1][j]);
}
例题:
模板代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
const int log2N = 17; //这是计算得到的log2(N)
int dp[N][log2N]; //dp[i][j] 表示左端点为 i 区间长度为 2^j 的区间中的最大值,即区间[i,i+2^j-1]
int query(int l, int r)
{
int t = r - l + 1;
int j = (int)log2(t);
return max(dp[l][j], dp[r - (1 << j) + 1][j]);
}
int main()
{
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &dp[i][0]);
for (int j = 1; j <= log2(n); j++)
for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++)
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
int l, r;
while (m--)
{
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%dn", query(l - 1, r - 1));
}
}
-
可重复贡献问题
我们要查询一块区域 (A) 内的元素性质, 可以将该区域 用两块区域 (B) (C) 来替代(这两个区域, 可以包含相同元素,但不可以 包含不属于 (A) 的元素) 即: (B cup C = A, B cap C in A)
通过这个两个子区域的值, 可以推出 (A) 的值。换句话说, 假如我们要求的值 函数为: (F(S)) (表示 (S) 这个集合里所有元素的结果)那么必须要满足: (F({a,b,c,d})=F(F({a,b,c}),F({b,c,d})))
比如:(RMQ) 问题、区间 (GCD) 、区间
&
操作、区间|
操作等。 ↩︎
原文链接: https://www.cnblogs.com/juniexd/p/17025415.html
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