哈夫曼树——c++

哈夫曼树的介绍

Huffman Tree，中文名是哈夫曼树或霍夫曼树，它是最优二叉树。

定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树，我们来看图解答。

(01) 路径和路径长度

定义：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
例子：100和80的路径长度是1，50和30的路径长度是2，20和10的路径长度是3。

(02) 结点的权及带权路径长度

定义：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
例子：节点20的路径长度是3，它的带权路径长度= 路径长度 * 权 = 3 * 20 = 60。

(03) 树的带权路径长度

定义：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。
例子：示例中，树的WPL= 1*100 + 2*80 + 3*20 + 3*10 = 100 + 160 + 60 + 30 = 350。

比较下面两棵树

上面的两棵树都是以{10, 20, 50, 100}为叶子节点的树。

左边的树WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360
右边的树WPL=350

左边的树WPL > 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况，但实际上右边的树就是{10,20,50,100}对应的哈夫曼树。至此，应该堆哈夫曼树的概念有了一定的了解了，下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。

哈夫曼树的图文解析

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w₁、w₂、…、w_n，哈夫曼树的构造规则为：

1. 将w₁、w₂、…，w_n看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；
2. 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
4. 重复(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

以{5,6,7,8,15}为例，来构造一棵哈夫曼树。

第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5,6,7,8,15。
第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(5和6)来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子(谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子)，并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。然后，将"树5"和"树6"从森林中删除，并将新的树(树11)添加到森林中。
第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(7和8)来进行合并。得到的新树的权值是15。然后，将"树7"和"树8"从森林中删除，并将新的树(树15)添加到森林中。
第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(11和15)来进行合并。得到的新树的权值是26。然后，将"树11"和"树15"从森林中删除，并将新的树(树26)添加到森林中。
第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(15和26)来进行合并。得到的新树的权值是41。然后，将"树15"和"树26"从森林中删除，并将新的树(树41)添加到森林中。
此时，森林中只有一棵树(树41)。这棵树就是我们需要的哈夫曼树！

哈夫曼树的基本操作

哈夫曼树的重点是如何构造哈夫曼树。本文构造哈夫曼时，用到了以前介绍过的"(二叉堆)最小堆"。下面对哈夫曼树进行讲解。

1. 基本定义

template <class T>
class HuffmanNode{
    public:
        T key;              // 权值
        HuffmanNode *left;  // 左孩子
        HuffmanNode *right; // 右孩子
        HuffmanNode *parent;// 父结点


        HuffmanNode(){}
        HuffmanNode(T value, HuffmanNode *l, HuffmanNode *r, HuffmanNode *p):
            key(value),left(l),right(r),parent(p) {}
};

HuffmanNode是哈夫曼树的节点类。

template <class T>
class Huffman {
    private:
        HuffmanNode<T> *mRoot;  // 根结点

    public:
        Huffman();
        ~Huffman();

        // 前序遍历"Huffman树"
        void preOrder();
        // 中序遍历"Huffman树"
        void inOrder();
        // 后序遍历"Huffman树"
        void postOrder();

        // 创建Huffman树
        void create(T a[], int size);
        // 销毁Huffman树
        void destroy();

        // 打印Huffman树
        void print();
    private:
        // 前序遍历"Huffman树"
        void preOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;
        // 中序遍历"Huffman树"
        void inOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;
        // 后序遍历"Huffman树"
        void postOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;

        // 销毁Huffman树
        void destroy(HuffmanNode<T>* &tree);

        // 打印Huffman树
        void print(HuffmanNode<T>* tree, T key, int direction);
};

Huffman是哈夫曼树对应的类，它包含了哈夫曼树的根节点和哈夫曼树的相关操作。

2. 构造哈夫曼树

/* 
 * 创建Huffman树
 *
 * 参数说明：
 *     a 权值数组
 *     size 数组大小
 *
 * 返回值：
 *     Huffman树的根节点
 */
template <class T>
void Huffman<T>::create(T a[], int size)
{
    int i;
    HuffmanNode<T> *left, *right, *parent;
    MinHeap<T> *heap = new MinHeap<T>();

    // 建立数组a对应的最小堆
    heap->create(a, size);

    for(i=0; i<size-1; i++)
    {   
        left = heap->dumpFromMinimum();  // 最小节点是左孩子
        right = heap->dumpFromMinimum(); // 其次才是右孩子

        // 新建parent节点，左右孩子分别是left/right；
        // parent的大小是左右孩子之和
        parent = new HuffmanNode<T>(left->key+right->key, left, right, NULL);
        left->parent = parent;
        right->parent = parent;


        // 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中
        if (heap->copyOf(parent)!=0)
        {
            cout << "插入失败!" << endl << "结束程序" << endl;
            destroy(parent);
            parent = NULL;
            break;
        }
    }

    mRoot = parent;

    // 销毁最小堆
    heap->destroy();
    delete heap;
}

首先通过heap->create(a, size)来创建最小堆。最小堆构造完成之后，进入for循环。

每次循环时：

(01) 首先，将最小堆中的最小节点拷贝一份并赋值给left，然后重塑最小堆(将最小节点和后面的节点交换位置，接着将"交换位置后的最小节点"之前的全部元素重新构造成最小堆)；
(02) 接着，再将最小堆中的最小节点拷贝一份并将其赋值right，然后再次重塑最小堆；
(03) 然后，新建节点parent，并将它作为left和right的父节点；
(04) 接着，将parent的数据复制给最小堆中的指定节点。

在二叉堆中已经介绍过堆，这里就不再对堆的代码进行说明了。若有疑问，直接参考后文的源码。其它的相关代码，也Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！

哈夫曼树的完整源码

1. 哈夫曼树的节点类（HuffmanNode.h）

/**
 * Huffman树节点类
 *
 * @author skywang
 * @date 2014/03/25
 */

#ifndef _HUFFMAN_NODE_HPP_
#define _HUFFMAN_NODE_HPP_

template <class T>
class HuffmanNode{
    public:
        T key;                // 权值
        HuffmanNode *left;    // 左孩子
        HuffmanNode *right;    // 右孩子
        HuffmanNode *parent;// 父结点


        HuffmanNode(){}
        HuffmanNode(T value, HuffmanNode *l, HuffmanNode *r, HuffmanNode *p):
            key(value),left(l),right(r),parent(p) {}
};

#endif

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2.哈夫曼树的实现文件（Huffman.h）

/**
 * C++实现的Huffman树。
 *
 * 构造Huffman树时，使用到了最小堆。
 *
 * @author skywang
 * @date 2014/03/25
 */

#ifndef _HUFFMAN_TREE_HPP_
#define _HUFFMAN_TREE_HPP_

#include <iomanip>
#include <iostream>
#include "HuffmanNode.h"
#include "MinHeap.h"
using namespace std;

template <class T>
class Huffman {
    private:
        HuffmanNode<T> *mRoot;    // 根结点

    public:
        Huffman();
        ~Huffman();

        // 前序遍历"Huffman树"
        void preOrder();
        // 中序遍历"Huffman树"
        void inOrder();
        // 后序遍历"Huffman树"
        void postOrder();

        // 创建Huffman树
        void create(T a[], int size);
        // 销毁Huffman树
        void destroy();

        // 打印Huffman树
        void print();
    private:
        // 前序遍历"Huffman树"
        void preOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;
        // 中序遍历"Huffman树"
        void inOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;
        // 后序遍历"Huffman树"
        void postOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;

        // 销毁Huffman树
        void destroy(HuffmanNode<T>* &tree);

        // 打印Huffman树
        void print(HuffmanNode<T>* tree, T key, int direction);
};

/* 
 * 构造函数
 */
template <class T>
Huffman<T>::Huffman():mRoot(NULL)
{
}

/* 
 * 析构函数
 */
template <class T>
Huffman<T>::~Huffman() 
{
    destroy();
}

/*
 * 前序遍历"Huffman树"
 */
template <class T>
void Huffman<T>::preOrder(HuffmanNode<T>* tree) const
{
    if(tree != NULL)
    {
        cout<< tree->key << " " ;
        preOrder(tree->left);
        preOrder(tree->right);
    }
}

template <class T>
void Huffman<T>::preOrder() 
{
    preOrder(mRoot);
}

/*
 * 中序遍历"Huffman树"
 */
template <class T>
void Huffman<T>::inOrder(HuffmanNode<T>* tree) const
{
    if(tree != NULL)
    {
        inOrder(tree->left);
        cout<< tree->key << " " ;
        inOrder(tree->right);
    }
}

template <class T>
void Huffman<T>::inOrder() 
{
    inOrder(mRoot);
}

/*
 * 后序遍历"Huffman树"
 */
template <class T>
void Huffman<T>::postOrder(HuffmanNode<T>* tree) const
{
    if(tree != NULL)
    {
        postOrder(tree->left);
        postOrder(tree->right);
        cout<< tree->key << " " ;
    }
}

template <class T>
void Huffman<T>::postOrder() 
{
    postOrder(mRoot);
}

/* 
 * 创建Huffman树
 *
 * 参数说明：
 *     a 权值数组
 *     size 数组大小
 *
 * 返回值：
 *     Huffman树的根节点
 */
template <class T>
void Huffman<T>::create(T a[], int size)
{
    int i;
    HuffmanNode<T> *left, *right, *parent;
    MinHeap<T> *heap = new MinHeap<T>();

    // 建立数组a对应的最小堆
    heap->create(a, size);
 
    for(i=0; i<size-1; i++)
    {   
        left = heap->dumpFromMinimum();  // 最小节点是左孩子
        right = heap->dumpFromMinimum(); // 其次才是右孩子
 
        // 新建parent节点，左右孩子分别是left/right；
        // parent的大小是左右孩子之和
        parent = new HuffmanNode<T>(left->key+right->key, left, right, NULL);
        left->parent = parent;
        right->parent = parent;
 

        // 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中
        if (heap->copyOf(parent)!=0)
        {
            cout << "插入失败!" << endl << "结束程序" << endl;
            destroy(parent);
            parent = NULL;
            break;
        }
    }

    mRoot = parent;

    // 销毁最小堆
    heap->destroy();
    delete heap;
}

/*
 * 销毁Huffman树
 */
template <class T>
void Huffman<T>::destroy(HuffmanNode<T>* &tree)
{
    if (tree==NULL)
        return ;

    if (tree->left != NULL)
        return destroy(tree->left);
    if (tree->right != NULL)
        return destroy(tree->right);

    delete tree;
    tree=NULL;
}

template <class T>
void Huffman<T>::destroy()
{
    destroy(mRoot);
}

/*
 * 打印"Huffman树"
 *
 * key        -- 节点的键值 
 * direction  --  0，表示该节点是根节点;
 *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
 *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
 */
template <class T>
void Huffman<T>::print(HuffmanNode<T>* tree, T key, int direction)
{
    if(tree != NULL)
    {
        if(direction==0)    // tree是根节点
            cout << setw(2) << tree->key << " is root" << endl;
        else                // tree是分支节点
            cout << setw(2) << tree->key << " is " << setw(2) << key << "'s "  << setw(12) << (direction==1?"right child" : "left child") << endl;

        print(tree->left, tree->key, -1);
        print(tree->right,tree->key,  1);
    }
}

template <class T>
void Huffman<T>::print()
{
    if (mRoot != NULL)
        print(mRoot, mRoot->key, 0);
}

#endif

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3.哈夫曼树对应的最小堆（MinHeap.h）

/**
 * 最小堆：为Huffman树服务的。
 *
 * @author skywang
 * @date 2014/03/25
 */

#ifndef _HUFFMAN_MIN_HEAP_HPP_
#define _HUFFMAN_MIN_HEAP_HPP_

#include "HuffmanNode.h"

template <class T>
class MinHeap {
    private:
        HuffmanNode<T> *mHeap;    // 最小堆的数组
        int mCapacity;            // 总的容量
        int mSize;                // 当前有效数据的数量
    private:
        // 上调算法
        void filterUp(int start);
        // 下调算法
        void filterDown(int start, int end);
        // 交换两个HuffmanNode节点的全部数据，i和j是节点索引。
        void swapNode(int i, int j);
    public:
        MinHeap();
        ~MinHeap();

        // 将node的全部数据拷贝给"最小堆的指定节点"
        int copyOf(HuffmanNode<T> *node);
        // 获取最小节点
        HuffmanNode<T>* dumpFromMinimum();
        // 创建最小堆
        void create(T a[], int size);
        // 销毁最小堆
        void destroy();
};


template <class T>
MinHeap<T>::MinHeap()
{
}
 
template <class T>
MinHeap<T>::~MinHeap()
{
    destroy();
}
 
/* 
 * 最小堆的向下调整算法
 *
 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明：
 *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
 *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
template <class T>
void MinHeap<T>::filterDown(int start, int end)
{
    int c = start;          // 当前(current)节点的位置
    int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
    HuffmanNode<T> tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点

    while(l <= end)
    {
        // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
        if(l < end && mHeap[l].key > mHeap[l+1].key)
            l++;        // 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1]
        if(tmp.key <= mHeap[l].key)
            break;        //调整结束
        else
        {
            mHeap[c] = mHeap[l];
            c = l;
            l = 2*l + 1;   
        }       
    }   
    mHeap[c] = tmp;
}
 
/*
 * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
 *
 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明：
 *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
template <class T>
void MinHeap<T>::filterUp(int start)
{
    int c = start;            // 当前节点(current)的位置
    int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
    HuffmanNode<T> tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)

    while(c > 0)
    {
        if(mHeap[p].key <= tmp.key)
            break;
        else
        {
            mHeap[c] = mHeap[p];
            c = p;
            p = (p-1)/2;   
        }       
    }
    mHeap[c] = tmp;
}
  
/* 
 * 将node的全部数据拷贝给"最小堆的指定节点"
 *
 * 返回值：
 *     0，表示成功
 *    -1，表示失败
 */
template <class T>
int MinHeap<T>::copyOf(HuffmanNode<T> *node)
{
    // 如果"堆"已满，则返回
    if(mSize == mCapacity)
        return -1;
 
    mHeap[mSize] = *node;   // 将"node的数据"全部复制到"数组末尾"
    filterUp(mSize);        // 向上调整堆
    mSize++;                // 堆的实际容量+1

    return 0;
}

/*
 * 交换两个HuffmanNode节点的全部数据
 */
template <class T>
void MinHeap<T>::swapNode(int i, int j)
{
    HuffmanNode<T> tmp = mHeap[i];
    mHeap[i] = mHeap[j];
    mHeap[j] = tmp;
}

/* 
 * 新建一个节点，并将最小堆中最小节点的数据复制给该节点。
 * 然后除最小节点之外的数据重新构造成最小堆。
 *
 * 返回值：
 *     失败返回NULL。
 */
template <class T>
HuffmanNode<T>* MinHeap<T>::dumpFromMinimum()
{
    // 如果"堆"已空，则返回
    if(mSize == 0)
        return NULL;

    HuffmanNode<T> *node;
    if((node = new HuffmanNode<T>()) == NULL)
        return NULL;

    // 将"最小节点的全部数据"复制给node
    *node = mHeap[0];

    swapNode(0, mSize-1);                // 交换"最小节点"和"最后一个节点"
    filterDown(0, mSize-2);    // 将mHeap[0...mSize-2]构造成一个最小堆
    mSize--;                        

    return node;
}

/* 
 * 创建最小堆
 *
 * 参数说明：
 *     a -- 数据所在的数组
 *     size -- 数组大小
 */
template <class T>
void MinHeap<T>::create(T a[], int size)
{
    int i;

    // 创建最小堆所对应的数组
    mSize = size;
    mCapacity = size;
    mHeap = new HuffmanNode<T>[size];
    
    // 初始化数组
    for(i=0; i<size; i++)
    {
        mHeap[i].key = a[i];
        mHeap[i].parent = mHeap[i].left = mHeap[i].right = NULL;
    }

    // 从(size/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。
    for (i = size / 2 - 1; i >= 0; i--)
        filterDown(i, size-1);
}

// 销毁最小堆
template <class T>
void MinHeap<T>::destroy()
{
    mSize = 0;
    mCapacity = 0;
    delete[] mHeap;
    mHeap = NULL;
}
#endif

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4.哈夫曼树的测试文件（HuffmanTest.cpp）

/**
 * Huffman树测试程序
 *
 * @author skywang
 * @date 2014/03/25
 */

#include <iostream>
#include "Huffman.h"
using namespace std;


int main()
{
    int a[]= {5,6,8,7,15};
    int i, ilen = sizeof(a) / (sizeof(a[0])) ;
    Huffman<int>* tree=new Huffman<int>();

    cout << "== 添加数组: ";
    for(i=0; i<ilen; i++) 
        cout << a[i] <<" ";

    tree->create(a, ilen);

    cout << "n== 前序遍历: ";
    tree->preOrder();

    cout << "n== 中序遍历: ";
    tree->inOrder();

    cout << "n== 后序遍历: ";
    tree->postOrder();
    cout << endl;

    cout << "== 树的详细信息: " << endl;
    tree->print();

    // 销毁二叉树
    tree->destroy();

    return 0;
}

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