让菜鸡讲一讲费用流(EK)

让我再讲一个故事吧。

又有一些小精灵要准备从银月城(S)迁徙到Nibel山(T)。

这两个地方之间的道路构成了一个网络。

每个道路都有它自己的容量，这决定了每天有多少小精灵可以同时从这儿通过。

和上一篇不同的是，由于上次迁徙的规模很大，

吸引了其它一些种族的注意，

这次每条道路都会有一些人/兽人/哥布林/...向精灵们征收过路费，

现在精灵们想知道，在花费最小的情况下，它们迁徙的速度最大是多少只每天。

费用流=最小费用最大流

在要求流最大的情况下要求费用最小，好像原来的isap已经派不上用场了呢！

让我们回到最朴实的EK算法上。

EK算法每一次只寻找一条增广路，

这带给它解决这一个方面的问题的得天独厚的优势。

这是原来的EK伪算法：

int BFS()
{
    /*找到一条增广路*/
}
int ek()
{
    /*对找到的增广路进行一系列处理*/
}

我们用BFS找增广路。

想象一下，

既然要求费用最小，

我们就把费用作为路径长度，

之后每一次跑一遍最短路，

那么就可以保证花费最小了！

所以，我们只要把原来的BFS()改成spfa()或者dijkstra()就好啦

ps.一般dijkstra只能跑不带负权边的图，
但是有一种特殊的技巧可以把边权魔改成正的。

以下是拿辣鸡spfa跑的费用流

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define ll first
#define rr second
inline int gotcha()
{
    register int a=0,b=1,c=getchar();
    while(!isdigit(c))b^=a=='-',c=getchar();
    while(isdigit(c))a=a*10+c-48,c=getchar();
    return b?a:-a;
}
const int _ = 5002 , __ = 50002<<1 , inf = 0x3f3f3f3f;
int to[__],ne[__],v[__],co[__],he[__]={0},ecnt=1;
int n,m,dis[_],pe[_],pv[_],S,T;
bool ed[_];
void adde(int a,int b,int c,int d){to[++ecnt]=b,v[ecnt]=c,co[ecnt]=d,ne[ecnt]=he[a],he[a]=ecnt;}
queue<int> q;
int spfa()
{
    memset(dis,63,sizeof(dis)),memset(ed,0,sizeof(ed));
    while(!q.empty())q.pop();
    register int i,a;
    q.push(S),ed[S]=1,dis[S]=0;
    while(!q.empty())
    {
        a=q.front(),q.pop();ed[a]=0;
        for(i=he[a];i;i=ne[i])
            if(v[i]>0 && dis[to[i]]>dis[a]+co[i])
            {
                dis[to[i]]=dis[a]+co[i];
                pe[to[i]]=i,pv[to[i]]=a;
                if(!ed[to[i]])ed[to[i]]=1,q.push(to[i]);
            }
    }
    return dis[T]<inf;
}
pii mfmc()
{
    register int i,sco=0,sfl=0,flw;
    while(spfa())
    {
        flw=inf;
        for(i=T;i!=S;i=pv[i])flw=min(flw,v[pe[i]]);
        for(i=T;i!=S;i=pv[i])v[pe[i]]-=flw,v[pe[i]^1]+=flw;
        sco+=flw*dis[T],sfl+=flw;
    }
    return mp(sfl,sco);
}
int main()
{
    register int i,j,k,a,b;
    register pii tmp;
    n=gotcha(),m=gotcha(),S=gotcha(),T=gotcha();
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        j=gotcha(),k=gotcha(),a=gotcha(),b=gotcha();
        adde(j,k,a,b),adde(k,j,0,-b);
    }
    tmp=mfmc();
    printf("%d %d",tmp.ll,tmp.rr);
    return 0;
}

这就不写伪代码了吧！？

以后补