乘法逆元及其求法

1.乘法逆元定义：在wiki中也叫倒数，当然是% p 后的，其实就是倒数。如果ax≡1(mod p),且gcd（a，p）=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。

在求解除法取模问题(a/b)%m时，我们可以转化为(a%(b∗m))/b，

但是如果b很大，则会出现爆精度问题，所以我们避免使用除法直接计算。

可以使用逆元将除法转换为乘法：

假设b存在乘法逆元，即与m互质（充要条件）。设c是b的逆元，即b∗c≡1(modm)，那么有a/b=(a/b)∗1=(a/b)∗b∗c=a∗c(modm)

即，除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模。

• 逆元求解一般利用扩欧。
• 当m为质数的时候直接使用费马小定理，m非质数使用欧拉函数。
• 当m为质数的时候，神奇的线性方法。

2.费马小定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么是a的倍数，可以表示为 如果a不是p的倍数，也可以写成

3.拓展欧几里得：已知整数a，b，拓展欧几里得算法可以在求得a，b的最大公约数的同时，能找到整数x，y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式

4.分析乘法逆元：ax≡1 (mod p) 这个等式用中文描述就是 a乘一个数x并模p等于1，即 a%p * x%p = res, res % p=1;看上去就是同余定理的一个简单等式 - -。那么问题来了。

5.为什么可以用扩展欧几里得求得逆元？我们知道模就是余数，比如12%5=12-52=2，18%4=18-44=2 那么ax ≡ 1(mod p)即 ax - yp =1.把y写成+的形式就是ax+py=1，为方便理解下面，我们把p写成b就是ax + by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用欧几里得求。

6.乘法逆元有什么用？做题时如果结果过大一般都会让你模一个数，确保结果不是很大，而这个数一般是1e9+7，而且这个数又是个素数，加减乘与模运算的顺序交换不会影响结果，但是除法不行。有的题目要求结果mod一个大质数，如果原本的结果中有除法，比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。（除一个数等于乘它的倒数，虽然这里的逆元不完全是倒数，但可以这么理解，毕竟乘法逆元就是倒数的扩展）。

拓展欧几里得求逆元代码：【时间复杂度为O(logn)】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)
{
    if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    else{ exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}

ll inv(ll a, ll p)
{
    ll d, x, y;
    exgcd(a, p, d, x, y);
    return d == 1 ? (x+p)%p : -1;
}

int main()
{
    ll a,p;
    while(1)
    {
        scanf("%lld %lld",&a,&p);
        printf("%lldn",inv(a,p));
    }
}

拓展欧几里得
费马小定理求逆元代码：【O（log2N），在几次测试中，常数似乎较上种方法大】

ll power_mod(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) 
            ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
inv2 = power_mod(a, mod - 2, mod);

费马小定理

当模p不是素数的时候需要用到欧拉定理

欧拉定理求逆元代码：【O(√n)，即求出单个欧拉函数的值】

int eurler_phi(int n)
{
    int res = n;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++){
        if(n % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n != 1) res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

欧拉定理

例题：
1256 乘法逆元基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题 收藏 关注给出2个数M和N(M < N)，且M与N互质，找出一个数K满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。Input

输入2个数M, N中间用空格分隔（1 <= M < N <= 10^9)

Output

输出一个数K，满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Input示例

2 3

Output示例

2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)  //拓展欧几里得 
{
    if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    else{ exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}

ll inv(ll a, ll p)  // 
{
    ll d, x, y;
    exgcd(a, p, d, x, y);
    return d == 1 ? (x+p)%p : -1;
}

int main()
{
    ll a,p;
    while(~scanf("%lld %lld",&a,&p))
    {
        printf("%lldn",inv(a,p));
    }
}

例题

参考：乘法逆元小结+逆元的几种求法（扩展欧几里得，费马小定理或欧拉定理，特例，打表等）+ACM数论之旅6---数论倒数，又称逆元（我整个人都倒了(￣﹏￣)）
原文链接: https://www.cnblogs.com/Roni-i/p/7533665.html

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