------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 按位与(AND)& 操作 由于位运算直接对内存数据进行操作,不需要转成十进制,因此处理速度非常快。
按位与(Bitwise AND),运算符号为& a&b的操作的结果:a、b中对应位同时为1,则对应结果位也为1、 例如: **10010001101000101011001111000** **&111111100000000** **---------------------------------------------** **10101100000000** **对10101100000000****进行右移8****位得到的是101011****,这就得到了a****的8~15****位的掩码了。**那么根据这个启示,判断一个整数是否是处于0-65535之间(常用的越界判断): 用一般的(a >= 0) && (a <= 65535)可能要两次判断。 改用位运算只要一次: a & ~((1 << 16)-1) 后面的常数是编译时就算好了的。其实只要算一次逻辑与就行了。 **** **** **常用技巧:** **** 1、用于整数的奇偶性判断
一个整数a, a & 1这个表达式可以用来判断a的奇偶性。二进制的末位为0表示偶数,最末位为1表示奇数。使用a%2来判断奇偶性和a & 1是一样的作用,但是a & 1要快好多。
2、判断n是否是2的正整数冪
**(!(n&(n-1)) ) && n** **** 举个例子:**** 如果n = 16 = 10000,n-1 = 1111 那么: **10000** **& 1111** **----------** **0** 再举一个例子:如果n = 256 = 100000000,n-1 = 11111111 那么: **100000000** **&11111111** **--------------** **0** 好!看完上面的两个小例子,相信大家都有一个感性的认识。从理论上讲,如果一个数a他是2的正整数幂,那么a的二进制形式必定为1000…..(后面有0个或者多个0),那么结论就很显然了。
3、统计n中1的个数
朴素的统计办法是:先判断n的奇偶性,为奇数时计数器增加1,然后将n右移一位,重复上面步骤,直到移位完毕。 朴素的统计办法是比较简单的,那么我们来看看比较高级的办法。
举例说明,考虑2位整数n=11,里边有2个1,先提取里边的偶数位10,奇数位01,把偶数位右移1位,然后与奇数位相加,因为每对奇偶位相加的和不会超过“两位”,所以结果中每两位保存着数n中1的个数;相应的如果n是四位整数n=0111,先以“一位”为单位做奇偶位提取,然后偶数位移位(右移1位),相加;再以“两位”为单位做奇偶提取,偶数位移位(这时就需要移2位),相加,因为此时没对奇偶位的和不会超过“四位”,所以结果中保存着n中1的个数,依次类推可以得出更多位n的算法。整个思想类似分治法。 0xAAAAAAAA=10101010101010101010101010101010 0x55555555 =1010101010101010101010101010101(奇数位为1,以1位为单位提取奇偶位)
0xCCCCCCCC =11001100110011001100110011001100 0x33333333 =110011001100110011001100110011(以“2位”为单位提取奇偶位)
0xF0F0F0F0 = 11110000111100001111000011110000 0x0F0F0F0F =1111000011110000111100001111(以“8位”为单位提取奇偶位)
0xFFFF0000 =11111111111111110000000000000000 0x0000FFFF =1111111111111111(以“16位”为单位提取奇偶位)
n = 11010011 计算n = ((n & 0xAAAAAAAA) >> 1) + (n & 0x55555555); 得到n = 10010010 计算n = ((n & 0xCCCCCCCC) >> 2) + (n & 0x33333333); 得到n = 00110010 计算n = ((n & 0xF0F0F0F0) >> 4) + (n & 0x0F0F0F0F); 得到n = 00000101 -----------------à无法再分了,那么5就是答案了。 4、对于正整数的模运算(注意,负数不能这么算)
先说下比较简单的: 乘除法是很消耗时间的,只要对数左移一位就是乘以2,右移一位就是除以2,传说用位运算效率提高了60%。 乘2^k众所周知:n<
除2^k众所周知:n>>k。
那么mod 2^k呢?(对2的倍数取模) **n&((1< 用通俗的言语来描述就是,对2的倍数取模,只要将数与2的倍数-1做按位与运算即可。 好!方便理解就举个例子吧。 思考:如果结果是要求模2^k时,我们真的需要每次都取模吗?
在此很容易让人想到快速幂取模法。 **快速幂取模算法** 经常做题目的时候会遇到要计算a^b mod c的情况,这时候,一个不小心就TLE了。那么如何解决这个问题呢?位运算来帮你吧。
首先介绍一下秦九韶算法:(数值分析讲得很清楚) 把一个n次多项式f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形式: f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0] = (a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0] = ((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0] =. ..... = (......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0]. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 v[1]=a[n]x+a[n-1] 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v[2]=v[1]x+a[n-2] v[3]=v[2]x+a[n-3] ...... v[n]=v[n-1]x+a[0] 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。
好!有了前面的基础知识,我们开始解决问题吧 由(a×b) mod c=( (a mod c)×b) mod c. 我们可以将b先表示成就: b = a[t]×2^t + a[t-1]×2^(t-1) + …… + a[0]×2^0.(a[i]=[0,1]). 这样我们由a^bmodc = (a^(a[t]×2^t+a[t-1]×2^(t-1)+ …a[0]×2^0) mod c. 然而我们求a^( 2^(i+1) ) mod c=( (a^(2^i)) mod c)^2 mod c .求得。 具体实现如下: 使用秦九韶算法思想进行快速幂模算法,简洁漂亮 比如一个截取低6位的掩码:0×3F 按位或运算很简单,只要a和b中相应位出现1,那么a|b的结果相应位也为1。就不多说了。 6、子集 枚举出一个集合的子集。设原集合为mask,则下面的代码就可以列出它的所有子集: 很漂很漂亮吧。 |
按位异或(xor)^ 操作 **** **按位异或运算** 俗称:xor运算
1、xor的基本知识
我们来看看xor运算的机理:
**1001011001011----****àa** **xor1011010001110----****àb** **-------------------------** **0010001000101---****àc**
看了上面的式子,体会到异或运算的原理了吧,就是:0和1异或0都不变,异或1则取反。很容易理解,如果b中的某位为1,那么a xor b的作用是在a相应的位进行取反操作。用通俗易懂的语言来讲就是xor运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作。 我们再看到上面那个计算式子,如果得到的结果c再与b做异或运算即:
**0010001000101---****àc** **xor1011010001110---****àb** **----------------------------------** **1001011001011---****àd**
注意到了吧,a == d是成立的!那么我们可以得到一个结论:(a xor b) xor b = a。 同时我们还可以得到一个很诡异的swap操作: a^=b;b ^= a; a ^= b; 自己拿起笔来模拟一下就很清楚的了。 **** 2、xor和not(按位否~)操作之间的关系
事实上很简单,not操作是xor操作的一个特例。取反实质上就是同1做异或操作 **~x =x^0x FFFFFFFF**
3、两个比较有趣的式子:**(n ^(n+1))**和**((n ^(n-1))+1)>>1**
(1)首先来看**(n ^(n+1))**这个式子,假设n = 10011010,n+1 = 10011011,则:
**10011010---****àn** **xor10011011---****àn+1** **------------------------------------** **00000001---****àans**
如果还不能看出什么的话,再来一个例子:n = 11111111,n+1 = 100000000,则:
**11110111---****àn** **xor11111000---****àn+1** **-------------------------** **000001111---****àans**
得到的结果为n的倒数出现第一个0的位以及后面所有的1全部变成1,其它位都为0的数。
(2)再来看看**((n ^(n-1))+1)>>1**这个式子 假设n = 10011010,n-1 = 10011001,则:
**10011010---****àn** **xor10011001---****àn-1** **-----------------------------------------** **00000011---****àans** **ans+1 >> 1= 000000100>> 1 = 000000010**
看出来了吧,也就是取出n出现倒数第一个1的位及该位后面的0组成的数
4、统计n中1的奇偶性
思路:我们在按位与运算的时候学过了怎么计算一个整数中1的个数,但是我们现在用xor来解决吧: **x=x^(x>>1); 说道这里,顺便提一下怎么求解一个数n的前导0的个数,下面的代码来自Hacker's Delight |
原文链接: https://www.cnblogs.com/ace9/archive/2011/04/29/2032811.html
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