进制转换

二进制转换十进制

二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方……

所以，设有一个二进制数：101100100，转换为10进制为：356

用横式计算

0×20+0×21+1×22+0×23+0×24+1×25+1×26+0×27+1×28=356

0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位：

1×22+1×25+1×26+1×28=356

4+32+64+256 =356

八进制转换十进制

八进制就是逢8进1。

八进制数采用 0～7这八数来表达一个数。

八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方……

所以，设有一个八进制数：1507，转换为十进制为：839，具体方法如下：

可以用横式直接计算：

7×80+0×81+5×82+1×83=839

也可以用竖式表示

第0位 7×80=7

第1位 0×81=0

第2位 5×82=320

第3位 1×83=512

十六进制转换十进制

16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这六个字母来分别表示10，11，12，13，14，15。字母不区分大小写。

十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方……

所以，在第N（N从0开始）位上，如果是数β （β大于等于0，并且β小于等于 15，即：F）表示的大小为 β×16的N次方。

假设有一个十六进数 2AF5

直接计算就是：

5×160+F×161+A×162+2×163=10997[1]

也可以用竖式表示：

第0位： 5×160=5

第1位： F×16^1=240

第2位： A×162=2560

第3位： 2×163=8192

-------------------------------

10997

此处可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。

假设有人问你，十进数1234 为什么是一千二百三十四？你尽可以给他这么一个算式：

1234 = 1×103+2×102+3×101+4×100

十六进制互相转换

首先我们来看一个二进制数：1111，它是多少呢？

你可能还要这样计算：1×20+1×21+1×22+1×23=1×1+1×2+1×4+1×8=15。

然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，：8、4、2、1。即，最高位的权值为23=8，然后依次是 22=4，21=2，20=1。

记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。

下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值（中间略过部分）

仅4位的2进制数快速计算方法十进制值十六进制

1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 =F

1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14= E

1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13= D

1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 =C

1011 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11= B

1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 =A

1001 = 8 + 0 + 0 + 1 =9 =9

……

0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1= 1

0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0= 0

二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。

如（上行为二制数，下面为对应的十六进制）：

1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011

F D ， A 5 ， 9 B

反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢？

先转换F：

看到F，我们需知道它是15（可能你还不熟悉A～F这五个数），然后15如何用8421凑呢？应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。

接着转换D

看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？应该是：8 + 4 + 1，即：1101。

所以，FD转换为二进制数，为：1111 1101

由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。

比如，十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数：

被除数计算过程商余数

1234 1234/16 77 2

77 77/16 4 13 (D)

4 4/16 0 4

结果16进制为：4D2

然后我们可直接写出4D2的二进制形式：

0100

1101

0010

其中对映关系为：

0100 -- 4

1101 -- D

0010 -- 2

同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。

下面举例一个int类型的二进制数：

01101101

11100101

10101111

00011011

我们按四位一组转换为16进制：6D E5 AF 1B

十进制转十六进制

采余数定理分解，例如将487710转成十六进制：

487710÷16=30481....14(E)

30481÷16=1905....1

1905÷16=119....1

119÷16=7....7

7÷16=0....7

这样就计到487710（10）=7711E（16）

表达方法

程序的表达方法环境格式备注URL%hex无 XML,XHTML&#xhex无HTML,CSS#hex6位，表示颜色UnicodeU+hex6位,表示字符编码MIME=hex无Modula-2#hex无Smalltalk,ALGOL 6816rhex无Common Lisp#xhex或#16rhex无IPv68个hex用:分隔无

C C++的表达方法

如果不使用特殊的书写形式，16进制数也会和10进制相混。随便一个数：9876，就看不出它是16进制或10进制。

C，C++规定，16进制数必须以 0x开头。比如 0x1表示一个16进制数。而1则表示一个十进制。另外如：0xff,0xFF,0X102A，等等。其中的x也不区分大小写。（注意：0x中的0是数字0，而不是字母O)

以下是一些用法示例：

int a = 0x100F;

int b = 0x70 + a;

至此，我们学完了所有进制：10进制，8进制，16进制数的表达方式。最后一点很重要，C/C++中，10进制数有正负之分，比如12表示正12，而-12表示负12，；但8进制和16进制只能表达无符号的正整数，如果你在代码中写：-078，或者写：-0xF2,C,C++并不把它当成一个负数。

在转义符中的使用

转义符也可以接一个16进制数来表示一个字符。如 '?' 字符，可以有以下表达方式：

'?' //直接输入字符

'77' //用八进制，此时可以省略开头的0

'x3F' //用十六进制

同样，这一小节只用于了解。除了空字符用八进制数 '' 表示以外，我们很少用后两种方法表示一个字符。

各码转换

结束了各种进制的转换，我们来谈谈另一个话题：原码、反码、补码。

我们已经知道计算机中，所有数据最终都是使用二进制数表达。

我们也已经学会如何将一个10进制数如何转换为二进制数。

不过，我们仍然没有学习一个负数如何用二进制表达。

比如，假设有一 int 类型的数，值为5，那么，我们知道它在计算机中表示为：5

00000000

00000101

转换成二制是101，不过int类型的数占用4字节（32位），所以前面填了一堆0。

想知道，-5在计算机中如何表示吗？

在计算机中，负数以其正值的补码形式表达。

什么叫补码呢？这得从原码，反码说起。

原码：一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码。

比如

00000000

00000101

是 5的原码。

反码：将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。

取反操作指：原为1，得0；原为0，得1。（1变0; 0变1）

比如：

00000000

00000101

每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。

称：11111111 11111111 11111111 11111010 是

00000000

00000101

的反码。

反码是相互的，所以也可称：

11111111

11111010

和

00000000

00000101

互为反码。

补码：反码加1称为补码。

也就是说，要得到一个数的补码，先得到反码，然后将反码加上1，所得数称为补码。

比如：

00000000

00000101

的反码是：

11111111

11111010

那么，补码为：

11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011

所以，-5 在计算机中表达为：11111111 11111111 11111111 11111011。转换为十六进制：0xFFFFFFFB。

再举一例，我们来看整数-1在计算机中如何表示。

假设这也是一个int类型，那么：

1、先取1的原码：

00000000

00000001

2、得反码：

11111111

11111110

3、得补码：

11111111

可见，－1在计算机里用二进制表达就是全1。16进制为：0xFFFFFFFF。

一切都是纸上说的……说－1在计算机里表达为0xFFFFFFFF，我能不能亲眼看一看呢？当然可以。利用C++ Builder的调试功能，我们可以看到每个变量的16进制值。

变量

下面我们来动手完成一个小小的实验，通过调试，观察变量的值。

我们在代码中声明两个int 变量，并分别初始化为5和-5。然后我们通过CB提供的调试手段，可以查看到程序运行时，这两个变量的十进制值和十六进制值。

首先写一个如下的C语言控制台程序：

intmain(void)
{
intaaaa=5,bbbbb=-5;
return0;
}

设置断点：最常用的调试方法之一，使程序在运行时，暂停在某一代码位置，

在Code::Blocks中，设置断点的方法是在某一行代码上按F5或在行首栏内单击鼠标。

我们在return 0;这一行上设置断点。断点所在行将被Code::Blocks以红色显示。

接着，运行程序（F9），程序将在断点处停下来。

（请注意两张图的不同，前面的图是运行之前，后面这张是运行中，左边的箭头表示运行运行到哪一行）

当程序停在断点的时，我们可以观察当前代码片段内，可见的变量。观察变量的方法很多种，这里我们学习使用 Debug Inspector （调试期检视），来全面观察一个变量。

以下是调出观察某一变量的　Debug Inspector　窗口的方法：

先确保代码窗口是活动窗口。（用鼠标点一下代码窗口）

按下Ctrl键，然后将鼠标挪到变量 aaaa 上面，你会发现代码中的aaaa变蓝，并且出现下划线，效果如网页中的超链接，而鼠标也变成了小手状：

点击鼠标，将出现变量aaaa的检视窗口。

从该窗口，我可以看到：

aaaa ：变量名

int ：变量的数据类型

0012FF88：变量的内存地址，请参看5.2 变量与内存地址；地址总是使用十六进制表达

5 ：这是变量的值，即aaaa = 5;

0x00000005 ：同样是变量的值，但采用16进制表示。因为是int类型，所以占用4字节。

首先先关闭前面的用于观察变量aaaa的Debug Inspector窗口。

然后，我们用同样的方法来观察变量bbbb，它的值为-5，负数在计算机中使用补码表示。

正如我们所想，-5的补码为：0xFFFFFFFB。

再按一次F9，程序将从断点继续运行，然后结束。

总结

很难学的一章？

来看看我们主要学了什么：

1、我们学会了如何将二、八、十六进制数转换为十进制数。

三种转换方法是一样的，都是使用乘法。

2、我们学会了如何将十进制数转换为二、八、十六进制数。

方法也都一样，采用除法。

3、我们学会了如何快速的地互换二进制数和十六进制数。

要诀就在于对二进制数按四位一组地转换成十六进制数。

在学习十六进制数后，我们会在很多地方采用十六进制数来替代二进制数。

4、我们学习了原码、反码、补码。

把原码的0变1，1变0，就得到反码。要得到补码，则先得反码，然后加1。

以前我们只知道正整数在计算机里是如何表达，这时我们还知道负数在计算机里使用其绝对值的补码表达。

比如，－5在计算机中如何表达？回答是：5的补码。

5、最后我们在上机实验中，这会了如何设置断点，如何调出Debug Inspector窗口观察变量。

以后我们会学到更多的调试方法。

标准表示

在数制使用时，常将各种数制用简码来表示：如十进制数用D表示或省略；二进制用B来表示；十六进制数用H来表示。

如：十制数123表示为：123D或者123；二进制数1011表示为：1011B；十六进制数3A4表示为：3A4H。

另外在编程中十六进制数也用“0x”作为开头。

意义

用于计算机领域的一种重要的数制。
对计算机理论的描述，计算机硬件电路的设计都是很有益的。比如逻辑电路设计中，既要考虑功能的完备，还要考虑用尽可能少的硬件，十六进制就能起到一些理论分析的作用。比如四位二进制电路，最多就是十六种状态，也就是一种十六进制形式，只有这十六种状态都被用上了或者尽可能多的被用上，硬件资源才发挥了尽可能大的作用。
十六进制更简短，因为换算的时候一位16进制数可以顶4位2进制数。
你可以在二进制前加几个0，意义不变。

二进制	八进制	十进制	十六进制
0 1	0 1	0 1	0 1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F
10000	20	16	10
10001	21	17	11
10010	22	18	12
10011	23	19	13
10100	24	20	14
10101	25	21	15
10110	26	22	16
10111	27	23	17
11000	30	24	18
11001	31	25	19
11010	32	26	1A
11011	33	27	1B
11100	34	28	1C
11101	35	29	1D
11110	36	30	1E
11111	37	31	1F
100000	40	32	20
100001	41	33	21
100010	42	34	22
100011	43	35	23
100100	44	36	24
100101	45	37	25
100110	46	38	26
100111	47	39	27
101000	50	40	28
101001	51	41	29
101010	52	42	2A
101011	53	43	2B
101100	54	44	2C
101101	55	45	2D
101110	56	46	2E
101111	57	47	2F
110000	60	48	30
110001	61	49	31
110010	62	50	32
110011	63	51	33
110100	64	52	34
110101	65	53	35
110110	66	54	36
110111	67	55	37
111000	70	56	38
111001	71	57	39
111010	72	58	3A
111011	73	59	3B
111100	74	60	3C
111101	75	61	3D
111110	76	62	3E
111111	77	63	3F
1000000	100	64	40
1000001	101	65	41
1000010	102	66	42
1000011	103	67	43
1000100	104	68	44
1000101	105	69	45
1000110	106	70	46
1000111	107	71	47
1001000	110	72	48
1001001	111	73	49
1001010	112	74	4A
1001011	113	75	4B
1001100	114	76	4C
1001101	115	77	4D
1001110	116	78	4E
1001111	117	79	4F
1010000	120	80	50
1010001	121	81	51
1010010	122	82	52
1010011	123	83	53
1010100	124	84	54
1010101	125	85	55
1010110	126	86	56
1010111	127	87	57
1011000	130	88	58
1011001	131	89	59
1011010	132	90	5A
1011011	133	91	5B
1011100	134	92	5C
1011101	135	93	5D
1011110	136	94	5E
1011111	137	95	5F
1100000	140	96	60
1100001	141	97	61
1100010	142	98	62
1100011	143	99	63
1100100	144	100	64

基本进位制

▪ 二进制	▪ 三进制	▪ 四进制	▪ 五进制
▪ 六进制	▪ 七进制	▪ 八进制	▪ 九进制
▪ 十进制	▪ 十一进制	▪ 十二进制	▪ 十三进制
▪ 十四进制	▪ 十五进制	▪ 十六进制	▪ 十八进制
▪ 二十进制	▪ 二十四进制	▪ 二十六进制	▪ 二十七进制
▪ 三十进制	▪ 三十二进制	▪ 三十六进制	▪ 六十进制
▪ 六十四进制

平衡进位制

▪ 平衡三进制	▪ 平衡五进制	▪ 平衡九进制

特殊进位制

▪ Base64	▪ 十进位制	▪ 二进指数法	▪ 黄金进制
▪ 斐波那契编码	▪ e进制

表达方法

各码转换

变量

总结

标准表示

意义

进位制的记数系统

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