Matlab网格划分

之前转载了一篇博客http://blog.sina.com.cn/s/blog_6163bdeb0102dvay.html，讲Matlab网格划分程序Distmesh，看了看程序，感觉程序写得有很多值得学的地方，所以又自己重新看了一看，加了一些注释，最后再总结一下学到的东西吧。

源代码的地址已经改变，如下http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/distmesh/distmesh.html。程序给出了20个划分的例子，文件名为p1_demo.m~p20_demo.m，直接运行程序可以看到划分的动画效果，每个例子基本都是设置一些参数，然后调用distmesh_2d函数进行网格划分，最后得到划分的节点p和各三角形t，最后将划分的三角形绘制出来。划分结果如下

p1_demo p14_demo

p5_demo p18_demo

进一步加注释的程序（需要学习的地方用颜色标记）：

function [ p, t ] = distmesh_2d ( fd, fh, h0, box, iteration_max, pfix, varargin )

%% DISTMESH_2D is a 2D mesh generator using distance functions.

% Example:

% Uniform Mesh on Unit Circle:

% fd = inline('sqrt(sum(p.^2,2))-1','p');

% [p,t] = distmesh_2d(fd,@huniform,0.2,[-1,-1;1,1],100,[]);

% Rectangle with circular hole, refined at circle boundary:

% fd = inline('ddiff(drectangle(p,-1,1,-1,1),dcircle(p,0,0,0.5))','p');

% fh = inline('min(4*sqrt(sum(p.^2,2))-1,2)','p');

% [p,t] = distmesh_2d(fd,fh,0.05,[-1,-1;1,1],500,[-1,-1;-1,1;1,-1;1,1]);

% Parameters:

% Input, function FD, signed distance function d(x,y).

% fd:d=fd(p)，p=[x y],fd为给定任一点到边界的有符号距离函数，负号表示在区域内，正号为在区域外

% Input, function FH, scaled edge length function h(x,y).

% fh:就是网格大小的函数

% Input, real H0, the initial edge length.

% h0:也就是h, 网格的初始大小

% Input, real BOX(2,2), the bounding box [xmin,ymin; xmax,ymax].

% box:最大外围矩形范围

% Input, integer ITERATION_MAX, the maximum number of iterations.

% The iteration might terminate sooner than this limit, if the program decides

% that the mesh has converged.

% iteration_max:允许的最大迭代次数

% Input, real PFIX(NFIX,2), the fixed node positions.

% pfix：网格中需要固定的点坐标，也就是一定需要出现在网格中的点

% Input, VARARGIN, aditional parameters passed to FD and FH.%

% Output, real P(N,2), the node positions.

% p:网格点的x,y坐标

% Output, integer T(NT,3), the triangle indices.

% t:输出网格任意一个三角形的三个顶点

% Local parameters:

% Local, real GEPS, a tolerance for determining whether a point is "almost" inside

% the region. Setting GEPS = 0 makes this an exact test. The program currently

% sets it to 0.001 * H0, that is, a very small multiple of the desired side length

% of a triangle. GEPS is also used to determine whether a triangle falls inside

% or outside the region. In this case, the test is a little tighter. The centroid

% PMID is required to satisfy FD ( PMID ) <= -GEPS.

% 局部变量geps：容忍度，一个点是否属于区域，也在判断三角形是否属于区域内时使用

dptol = 0.001; % 收敛精度

ttol = 0.1; % 三角形划分精度（百分比）

Fscale = 1.2; % 放大比例

deltat = 0.2; % 相当于柔度

geps = 0.001 * h0; % 容忍度

deps = sqrt ( eps ) * h0; % 微小变化dx

iteration = 0; % 迭代次数

triangulation_count = 0; % 三角形划分次数

% 1. Create the initial point distribution by generating a rectangular mesh

% in the bounding box.

% 根据初始网格的大小h0，先把能涵盖欲划分区域的最大矩形划分为结构网格。

[ x, y ] = meshgrid ( box(1,1) : h0 : box(2,1), ...

box(1,2) : h0*sqrt(3)/2 : box(2,2) );

% Shift the even rows of the mesh to create a "perfect" mesh of equilateral triangles.

% Store the X and Y coordinates together as our first estimate of "P", the mesh points

% we want.

% 然后把偶数行的点整体向右平移半格，得到正三角形划分

x(2:2:end,:) = x(2:2:end,:) + h0 / 2;

p = [ x(:), y(:) ];

% 2. Remove mesh points that are outside the region,

% then satisfy the density constraint.

% Keep only points inside (or almost inside) the region, that is, FD(P) < GEPS.

% 根据fd的函数定义，移除边界外的点

p = p(feval_r( fd, p, varargin{:} )<= geps, : );% 1

% Set R0, the relative probability to keep a point, based on the mesh density function.

r0 = 1 ./ feval_r( fh, p, varargin{:} ).^2;

% Apply the rejection method to thin out points according to the density.

% 根据网格密度函数fh，每个点上产生一个0-1随机数，判断是否小于r0/max(r0)大于的话，该点被删除

p = [ pfix; p(rand(size(p,1),1) < r0 ./ max ( r0 ),: ) ];

[ nfix, dummy ] = size ( pfix );

% Especially when the user has included fixed points, we may have a few

% duplicates. Get rid of any you spot.

% 当指定了某些点要保留的时候，把保留的点加入，删除重复的点。

p =unique ( p, 'rows' );% 2

N = size ( p, 1 );

% If ITERATION_MAX is 0, we're almost done.

% For just this case, do the triangulation, then exit.

% Setting ITERATION_MAX to 0 means that we can see the initial mesh

% before any of the improvements have been made.

% 如果最大迭代次数为负，则直接结束

if ( iteration_max <= 0 )

t =delaunayn( p );% 3

triangulation_count = triangulation_count + 1;

return

end

pold = inf; % 第一次迭代前设置旧的点的坐标为无穷

while ( iteration < iteration_max )

iteration = iteration + 1;

if ( mod ( iteration, 10 ) == 0 )

fprintf ( 1, ' %d iterations,', iteration );

fprintf ( 1, ' %d triangulations.n', triangulation_count );

end



% 3. Retriangulation by the Delaunay algorithm.

% Was there large enough movement to retriangulate?

% If so, save the current positions, get the list of

% Delaunay triangles, compute the centroids, and keep

% the interior triangles (whose centroids are within the region).

%

% 先判断上次移动后的点和旧的点之间的移动距离，如果小于某个阀值，停止迭代

if ( ttol < max ( sqrt ( sum ( ( p - pold ).^2, 2 ) ) / h0 ) )

pold = p; % 如果还可以移动，保存当前的节点

t = delaunayn ( p ); % 利用delauny算法，生成三角形网格

triangulation_count = triangulation_count + 1; % 划分次数加1

pmid = ( p(t(:,1),:) + p(t(:,2),:) + p(t(:,3),:) ) / 3; % 计算三角形的重心

t = t( feval_r( fd, pmid, varargin{:} ) <= -geps, : ); % 移除重心在区域外的三角形



% 4. Describe each bar by a unique pair of nodes.

% 生成网格的边的集合，也就是相邻点之间连接的线段

bars = [ t(:,[1,2]); t(:,[1,3]); t(:,[2,3]) ];

bars = unique ( sort ( bars, 2 ), 'rows' );



% 5. Graphical output of the current mesh

trimesh( t, p(:,1), p(:,2), zeros(N,1) ) % 绘制划分的三角形% 3

view(2), axis equal, axis off, drawnow

end



% 6. Move mesh points based on bar lengths L and forces F

% Make a list of the bar vectors and lengths.

% Set L0 to the desired lengths, F to the scalar bar forces,

% and FVEC to the x, y components of the bar forces.

% At the fixed positions, reset the force to 0.

barvec = p(bars(:,1),:) - p(bars(:,2),:); % 生成bar的矢量

L = sqrt ( sum ( barvec.^2, 2 ) ); % 计算bar的长度

% 根据每个bar的中点坐标，计算需要的三角形边的边长（这个在fh函数里控制）

hbars = feval_r( fh, (p(bars(:,1),:)+p(bars(:,2),:))/2, varargin{:} );

% 计算需要的bar的长度，已经乘上了两个scale参数 Fscale, sqrt ( sum(L.^2) / sum(hbars.^2) );

% 具体可参考他们的paper

L0 = hbars * Fscale * sqrt ( sum(L.^2) / sum(hbars.^2) );

% 计算每个bar上力

F = max ( L0 - L, 0 );

% bar上力的分量，x,y方向

Fvec = F ./ L * [1,1] . barvec;

% 计算Ftot， 每个节点上力的残量

Ftot = full ( sparse(bars(:,[1,1,2,2]),ones(size(F))[1,2,1,2],[Fvec,-Fvec],N,2) );

% 对于固定点，力的残量为零

Ftot(1:size(pfix,1),:) = 0;

% 根据每个节点上的受力，移动该点

p = p + deltat * Ftot;



% 7. Bring outside points back to the boundary

% Use the numerical gradient of FD to project points back to the boundary.

d = feval_r( fd, p, varargin{:} ); % 计算点到边界距离

ix = d > 0;

% 计算移动梯度，相对边界

dgradx = ( feval_r(fd,[p(ix,1)+deps,p(ix,2)],varargin{:}) - d(ix) ) / deps;% 4

dgrady = ( feval_r(fd,[p(ix,1),p(ix,2)+deps],varargin{:}) - d(ix) ) / deps;

% 将这些移动到边界外的投射回边界上

p(ix,:) = p(ix,:) - [ d(ix) . dgradx, d(ix) . dgrady ];

% I needed the following modification to force the fixed points to stay.

% Otherwise, they can drift outside the region and be lost.

% 修正，以免一些点移到区域外而丢失

p(1:nfix,1:2) = pfix;

N = size ( p, 1 );



% 8. Termination criterion: All interior nodes move less than dptol (scaled)

if ( max ( sqrt ( sum ( deltat * Ftot ( d < -geps,:).^2, 2 ) ) / h0 ) < dptol )

break;

end

end

end

值得学习的地方：

1.feval_r(fd, p, varargin{:})

这相当于是回调函数的用法，将某些完成特定功能的函数作为输入参数传递进来，需要实现某些功能时则调用此函数，这样当想改变特定功能时，直接改变传进来的函数句柄就可以了。而且完成特定功能的函数的额外参数可以由varargin传入。

2.unique ( p, 'rows' );

unique函数属于时间序列分析中的功能，最近借了一本书正好看到，时间序列有一些列处理方法函数，可以很方便的处理作为时间序列的向量。

3.delaunayn 、trimesh

这是涉及三角形划分的matlab功能，感觉挺使用的。一方面，有限元方法需要网格划分，有这些函数，如虎添翼，另外在matlab实现三维的类似OpenGL的显示、操作等，使用patch最方便了，而patch最方便的使用方法是传入点和面，而如何构造点和面呢，这里给出了很好的答案。

4.deps = sqrt ( eps ) * h0; % 微小变化dx

dgradx = ( feval_r(fd,[p(ix,1)+deps,p(ix,2)],varargin{:}) - d(ix) ) / deps;

这个相当于是求函数微分、梯度，本来matlab函数传入的量是离散的，感觉顶多求差分，突然发现这种想法太简单了，函数的定义域是连续的，连续的就可以求微分，这里提供了一种很好方法。

这也提供了一种很好的提示，以前一直拿c、c++的编程思想用matlab，现在发现使用matlab的更有效率的方法是使用数学函数的思想，matlab的函数不是c、c++中响应函数的那个函数，而是定义在实数域上的数学函数，用来处理各种数学问题。也可能是之前理解c、c++中的函数就应该用这种思想吧！

此程序中就实现了各种数学意义上的计算，如求点到线的距离、求梯度、算分量等，看了这个程序，才感觉matlab确实是数学的语言工具。
原文链接: https://www.cnblogs.com/haoyul/p/5909427.html

欢迎关注

微信关注下方公众号，第一时间获取干货硬货；公众号内回复【pdf】免费获取数百本计算机经典书籍