想讲讲C++ STL中各种算法都用到的一个概念,Strict Weak Ordering。
举个例子,来说明为什么写C++要知道这个东西。
假如你定义了一个类型MyType,而且这个类型是可比的(comparable,定义了<这个operator):
struct MyType {
int first;
int second; MyType(int f,int s):first(f),second(s){}
MyType(){
....
}
bool operator < (const MyType &b){
return a.first < b.first;
}
};
现在一个 vector里装着很多这种类型的对象,你想对这个 vector 排序:
vector<MyType> vec { obj1,obj2,obj3 };
std::sort(vec.begin(),vec.end());
之所以能用std::sort()来对任意类型排序,而不用给std::sort()传递规则,是因为std::sort()是默认采用<这个operator来排序的。
现在问题来了,只有<这个operator怎么知道两个对象是否相等?
简单来说就是,假如!(a<b) && !(b<a),那么a==b
但是,假如我没有为MyType定义<这个 operator,我想在std::sort()的时候用 lambda来给出比较规则,那么,怎么才能知道两个对象是否相等? 这样:
std::sort(vec.begin(),vec.end(), [](MyType a, MyType b){ a.second < b.second ; });
可以看到,这个 lambda就等同于上面的operator< ()。
可以看到,这里,只需要给std::sort()一个比较规则即可。这个比较规则不一定是要<,可以是>或者其他:
std::sort(vec.begin(),vec.end(),{ a.second > b.first; });
(术语上,这个比较规则就是离散数学里面讲的Relation,用来描述两个object之间的关系)
但是,并不是任何比较规则都是可以的,这个比较规则一定要满足 Strict Weak Ordering的要求。比如,你不能用<=或>=号这个比较规则:
std::sort(vec.begin(),vec.end(),[](MyType a, MyType b){ a.first <= b.first; });
为什么?因为,如果a确实等于b,当你用!(a<=b)&&!(b<=a)去看两者相不相等,会发现返回的是 false。这当然是不对的
(有人问我为什么不直接用==去比较a和b是否相等,因为我们并没有给 MyType 定义==这个 operator)
那么,什么是Strict Weak Ordering呢?
下面是由WikiPedia上抄来的定义。
A strict weak ordering is a binary relation < on a set S that is a strict partial order (a transitive relation that is irreflexive, or equivalently,[5]that is asymmetric) in which the relation "neither a < b nor b < a" is transitive.[1]Therefore, a strict weak ordering has the following properties:
- For all x in S, it is not the case that x < x (irreflexivity).
- For all x, y in S, if x < y then it is not the case that y < x (asymmetry).
- For all x, y, z in S, if x < y and y < z then x < z (transitivity).
- For all x, y, z in S, if x is incomparable with y (neither x < y nor y < x hold), and y is incomparable with z, then x is incomparable with z (transitivity of incomparability).
This list of properties is somewhat redundant, asasymmetryfollows readily fromirreflexivityandtransitivity.
注意定义中所说的relation就是我们上面说的“比较规则”(数学上叫relation。relation是一个更加广的概念,不一定是比较规则)
而且,定义中用到的<并不是小学数学中的小于号,它只是代表一个relation(当然,普通的小于号 < 是最简单的满足Strict Weak Ordering的relation了)。
容易看出,小于等于号<=和大于等于号>=并不满足irreflexivity的要求。
可以看到,我们上面说的相等,就是这个定义里说的 "the relation 'neither a<b nor b<a'",也就是,incomparable
这里的一个比较细微的地方是,“相等”的概念。在这里,"相等"(equivelant )并不意味着a和b是一样( identical ) 的东西,而只是!(a<b) && !(b<a)(incomparable)(注意<只是一个relation,并不一定是我们常说的小于号)
也就是说,“相等”在这里已经变成了!(a<b) && !(b<a),而不是==号(而且我们根本就没有定义==这个operator,你根本没法用这个运算符来看a和b是否相等)
比如,假如:
MyType a(1,100);
MyType b(1,99);
那么,在std::sort(vec.begin(),vec.end());中,std::sort()去判断a和b是否“相等”的时候,会把a和b当做是相等的,即使a和b这个两个对象的 second 并不一样(因此a,b也不一样)。这是因为我们用了<这个运算符,而<这个运算符并不去比较 second,只关心first。
在数学上,这个“相等”的其实就是一个equivalent relation(看下文定义)
明白这个概念很重要,不然,看文档会比较痛苦(我在看Matthew H. Austern那本《Generic Programming and the STL》的时候,就是没能明白这个概念,糊涂了很久......)
我想讲的已经讲完,最后,来捋一捋逻辑。
### C++ 语言中为什么要默认采用 < 来作为std::sort()和其他与排序相关的函数的比较符号呢?
第一,必须定义一个默认的比较运算符,否则每次排序都要提供一个运算子,太麻烦了。
### 为什么不用其他运算符?
可以用其他运算符号,比如,可以用 > 。只要这个运算符能满足strict weak ordering即可。
### 为什么一定要满足strict weak ordering?
因为,满足strict weak ordering的运算符能够表达其他所有的逻辑运算符(logical operator):
- <(a, b) : (a < b)
- <=(a, b): !(b < a)
- ==(a, b): !(a < b) && !(b < a)
- !=(a, b) : (a < b) || (b < a)
-
(a, b) : (b < a)
-
=(a, b): !(a < b)
但是,不满足strict weak ordering的就不一行。比如上文中所讲的 <= 号和 >= 号,当a==b时,!(a<=b)&&!(b<=a)并不为真。
再次重申,这里所说的”运算符“,“相等”,“小于”等词汇,都应该与C++中的范型编程联系起来。
也就是说,“运算符”这个词,不仅仅是 < 号,> 号这些简单的数学运算符,同时应该包括C++中的functor,lamda等。说白了,能用来比较两个元素,并且返回true或false的东西。< 号和 > 号这些是最简单的的”运算符“了,但是你也可以写一个一千行的函数,接受两个参数,然后返回一个布尔值。
同样道理,”小于“,”大于“这些词汇也不单是 < 和 > 。
假如你定义了一个 < ,那么
- a > b, 即 b < a
- a == b,即 !(a < b) && !(b < a)
- ...
也就是,用一个运算符表示其他所有的运算符。
最后在这里补一补离散数学的坑。关于 relation 和 ordering。
关于reflexive,symmetry,transitivity这些术语的一个总结(摘自这里):
Given a function f(which models a binary relation) over a domainD, and a, b∈ D:
- Reflexivity: f (a, a) is true.
- Asymmetry: For a ≠ b, if f(a, b) is true, f(b,a) is false
- Anti-symmetry: If f(a, b) and f(b, a) are both true iff a ≡ b
- Transitivity: If f(a, b) and f(b, c) are true, then f(a, c) is true
- Incomparability: Neither f(a, b) nor f(b, a) is true
- Transitivity of incomparability: If a and b are incomparable, and so are b and c, then a and c are incomparable.
首先是最常见的Partial Ordering 和 poset:
A (non-strict) *partial order R is a binary relation "≤" over a set S which is reflexive, antisymmetric, and transitive
***
( A set S together with a patial order R is called a patially ordered set, or poset, and is denoted by (S,R))
这个定义里面说的是non-strict partial ordering。最常见的non-strict partial ordering就是数学上的小于等于号 ≤ 了。这也是为什么定义中都使用 ≤ 来表示npn-strict partial odering。注意,如果没有特殊提示,一般人说的partial ordering 就是指 non-strict partial ordering。
如果要加上 strict的限制,则是:
A relation is astrictorder on a set if it is
-
Irreflexive: does not hold for any .
-
Asymmetric: if , then does not hold.
-
Transitive: and implies .
Note that transitivity and irreflexivity combined imply asymmetric.
最常见的strict partial order是 < 号了,这也是为什么常用 < 来表示strict partial ordering。
(non-strict partial ordering 和 strict partial ordering的定义从这里和这里都可以找到)
为了弄清楚 non-strict 和 strict 一词的含义,仔细看上面两个定义。
两者的区别在于,non-strict ordering 是 irreflexive 和 asymmetric的,而 strict ordering 是 reflexive和asymmetric的。
irreflexive 和 reflexive 是相反的概念,这个很好理解。但是 anti-symmetric 和 asymmetric 的概念却貌似没有交集,这个怎么理解?
首先看symmetric、asymmetric以及anti-symmetric的定义:
symmetric:
A binary relationRon a set Sis symmetric when :
∀a,b∈S(aRb→bRa)
asymmetric:
A binary relationR on a set Sis asymmetric when :
∀a,b∈S(aRb→¬(bRa))
anti-symmetric:
A binary relationRon a set Sis antisymmetric if there is no pair of distinct elements of Seach of which is related byR to the other; i.e. :
∀a,b∈S((aRb∧bRa)→a=b)
The difference between asymmetric and anti-symmetric is that:
Antisymmetric means that the only way for bothaRbandbRato hold is ifa=b. It can be reflexive, but it can't be symmetric for two distinct elements. Think <=.
Asymmetric is the same except it also can't be reflexive. An asymmetric relation never has bothaRb andbRa, even ifa=b. Think<.
So an asymmetric relation is just one that is both antisymmetric and irreflexive.
也就是说,anti-symmetric + irreflexive -> aymmetric
所以,strict partial ordering 中的 asymmetric可以换成 anti-symmetric + irreflexive(虽然数学上这样的替换是不正确的,但是这好理解一点),也就是说,non-strict 和 strict 的差别就在于 reflexive 和 irreflexive了。这样就好理解了。
多说一句,
Every(non-strict)partial order induces a strict partial order
![ a |
Similarly, every strict partial order induces a (non-strict)partial order
![ a<=b:a |
加减一个条件就可以在两者之间转换了。
Total ordering:
If(S,<) is a poset and every two elements of S are comparable, S is called a totally ordered or linearly ordered set, and < is called a total order or a linear order. A totally ordered set is also called a chain.
这里,total 的概念怎么理解呢?这样:
A strict order is total if, for any , either , , or
也就是说,total 要求一个绝对的可比关系。
The notion of incomparable:
Let< denote the relation in setS. The elements a and b of a poset (S,<) are called comparable if either a<b or b<a. When a andb are elements of S such thatneither a<b nor b<a, a and b are called incomparable.
Well order:
(S,<) is a well-ordered set if it is a poset such that < is a total ordering and every nonempty subset of S has a least element
那么,可以看出,C++中的 strict weak ordering 和 strict partial ordering想比,就是差一个weak了,这个weak,就差在 transitivity of incomparablity上(对比一下定义看看)。
值得注意的是,transitivity of incomparablity 并不是说这个集合一定是 incomparable 的,只是说,如果有incomparable的元素,那么这些incomparable的关系是可传递的(transitive)
Reference:
- https://en.wikipedia.org/wiki/Weak_ordering#Strict_weak_orderings
- https://en.wikipedia.org/wiki/Partially_ordered_set
- https://en.wikipedia.org/wiki/Total_order
- http://sidd-reddy.blogspot.com/2011/01/i-was-going-over-c-stl-when-i-noticed.html
- http://math.stackexchange.com/questions/585396/what-is-meaning-of-strict-weak-ordering-in-laymans-term
- http://www.sgi.com/tech/stl/StrictWeakOrdering.html
- https://www.quora.com/What-is-strict-weak-ordering-in-C++-sort
- https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation
- http://stackoverflow.com/questions/979759/operator-and-strict-weak-ordering
- http://stackoverflow.com/questions/14938163/total-weak-partial-orderings-complete-definition
- http://math.stackexchange.com/questions/778164/is-an-anti-symmetric-and-asymmetric-relation-the-same-are-irreflexive-and-anti
- http://mathworld.wolfram.com/StrictOrder.html
Last Edit: 2016-07-31, 12:03
:)
原文链接: https://www.cnblogs.com/walkerlala/p/5561339.html
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