求欧拉函数

在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

φ函数的值 通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=223那么φ（12）=12（1-1/2）(1-1/3)=4若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

求1~N之间的欧拉函数值O(nloglogn)

1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long LL;
 4 LL N;
 5 LL Phi[5000000];
 6 inline void get_Phi(){
 7     for(int i=2;i<=N;i++) Phi[i]=0;
 8     Phi[1]=1;
 9     for(int i=2;i<=N;i++){
10         if(!Phi[i]){
11             for(int j=i;j<=N;j+=i){
12                 if(!Phi[j]) Phi[j]=j;
13                 Phi[j]=Phi[j]/i*(i-1);
14             }
15         }
16     }
17 }
18 
19 int main(){
20     scanf("%d",&N);
21     get_Phi();
22     for(int i=1;i<=N;i++){
23         cout<<Phi[i]<<" ";
24         if(i%10==0){
25             cout<<endl;
26         }
27     }
28     return 0;
29 }

但是这个复杂度还不够优秀，网上有O(n)的筛法：

1 /*线性筛O(n)时间复杂度内筛出maxn内欧拉函数值*/
 2 int m[maxn],phi[maxn],p[maxn],pt;//m[i]是i的最小素因数，p是素数，pt是素数个数
 3  
 4 int make(){
 5     phi[1]=1;
 6     int N=maxn;
 7     int k;
 8     phi[1]=1;
 9     for(int i=2;i<N;i++){
10         if(!m[i])//i是素数
11             p[pt++]=m[i]=i,phi[i]=i-1;
12         for(int j=0;j<pt&&(k=p[j]*i)<N;j++)
13         {
14             m[k]=p[j];
15             if(m[i]==p[j])//为了保证以后的数不被再筛，要break
16             {
17                 phi[k]=phi[i]*p[j];
18             /*这里的phi[k]与phi[i]后面的∏(p[i]-1)/p[i]都一样（m[i]==p[j]）
19             只差一个p[j]，就可以保证∏(p[i]-1)/p[i]前面也一样了*/
20                 break;    
21             }
22             else
23                 phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);//积性函数性质，f(i*k)=f(i)*f(k)
24         }
25     }
26 }

还可以单独求欧拉函数的O(sqrt(n))：

1 int euler_Phi(int n){
 2     int m=(int)sqrt(n+0.5);
 3     int ans=n;
 4     for(int i=2;i<=m;i++){
 5         if(n%i==0){
 6             ans=ans/i*(i-1);
 7             while(n%i==0) n/=i;
 8         }
 9     }
10     if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
11     return ans;
12 }

原文链接: https://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4751272.html

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