bitset 优化 01 矩乘

bitset 优化 01 矩乘

这里的矩乘并不狭隘地专指一般矩阵乘法，而可以指所有与一般矩乘一样具有结合律的二元矩阵运算。

例：定义一种 01 矩阵乘法 \(A\cdot B=C\) 为下面的 C++ 代码

for (int i = 1; i <= n; ++i)
	for (int j = 1; j <= n; ++j)
		for (int k = 1; k <= n; ++k)
			C[i][j] |= A[i][k] & B[k][j];

其中 \(A,B,C\) 都是 01 矩阵。

显然这种矩乘是具有结合律的，即符合 \((A\cdot B)\cdot C=A\cdot(B\cdot C)\)

因为是 01 矩阵，可以用 bitset 优化

于是上面的代码显然与下面这份等价

std::bitset<N> A[N], B[N], C[N];
for (int i = 1; i <= n; ++i)
	for (int k = 1; k <= n; ++k)
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			if (A[i][k])
				C[i][j] |= B[k][j];

即交换一下 k 与 j 的循环。

仔细一看，发现最后一维枚举 j 时，A[i][k]不受其影响，同时C[i]与B[k]对齐了

于是利用 bitset 自带的运算我们可以写成

std::bitset<N> A[N], B[N], C[N];
for (int i = 1; i <= n; ++i)
	for (int k = 1; k <= n; ++k)
		if (A[i][k])
			C[i] |= B[k];

因为 STL 封装的内部优化肯定比我们自己在外部手写的优很多

或者更准确地说

时间复杂度从 \(O(n^3)\) 降为了 \(O(n^3/\omega)\) ，其中一般 \(\omega\) 为 32 或 64 ，与计算机位数有关。

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