图

定义

图(Graph)，又V和E两个非空集合构成，表示为G = (V,E);

其中，V表示的是图G中的顶点的又穷非空集合；E表示的是图G中的两个顶点之间连接的边的有穷集合；

V(G),E(G)通常分别表示G的顶点集，边集；

ps: 一个图，可以没有边，也就是E(G)可以为空，但是V(G)不能

图的基本术语

无向边: 若顶点vi到vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边（Edge），用无序偶对(vi,vj)来表示。

无向图: 如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图（Undirected graphs）。

有向边：若从顶点vi到vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）。用有序偶来表示，vi称为弧尾（Tail），vj称为弧头（Head）。

有向图: 如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图（Directed graphs）。

无向边用小括号“()”表示，而有向边则是用尖括号“<>”表示。

简单图: 在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。

无向完全图: 在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。

含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。

有向完全图: 在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。

含有n个顶点的有向完全图有n×(n-1)条边。

对于具有n个顶点和e条边数的图，无向图，有向图。

稀疏图与稠密图：有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。这里稀疏和稠密是模糊的概念，都是相对而言的。
权: 有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权（Weight）。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。
网：带权的图通常称为网（Network）。
子图：设有两个图G=(V,{E})和G'=(V',{E'})，如果V'∈V且E'∈E,则称G'为G的子图（Sub-graph）。

邻接点: 对于无向图G=(V,{E})，如果边(v,v')∈E，则称顶点v和v'互为邻接点（Adjacent），即v和v'相邻接。

边(v,v')依附（incident）于顶点v和v'，或者说(v,v')与顶点v和v'相关联。

度：顶点v的度（Degree）是和v相关联的边的数目，记为TD(v)。

对于有向图G=(V,{E})，如果弧∈E，则称顶点v邻接到顶点v'，顶点v'邻接自顶点v。弧和顶点v，v'相关联。以顶点v为
头弧的数目称为v的入度（InDegree），记为ID(v)；以v为尾的弧的数目称为v的出度（OutDegree），记为OD(v)；顶点v的度为TD(v)=ID(v)+OD(v)。

路径：无向图G=(V,{E})中从顶点v到顶点v'的路径（Path）是一个顶点序列。如果G是有向图，则路径也是有向的。

路径的长度是路径上的边或弧的数目。

回路: 第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环（Cycle）。
简单路径: 序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。
简单回路: 除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。

连通: 在无向图G中，如果从顶点v到顶点v'有路径，则称v和v'是连通的。
连通图: 如果对于图中任意两个顶点vi、vj∈V，vi和vj都是连通的，则称G是连通图（Connected Graph）。
连通分量: 无向图中的极大连通子图称为连通分量。连通分量的概念强调：

要是子图；
子图要是连通的；
连通子图含有极大顶点数；
具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

强连通图: 在有向图G中，如果对于每一对vi、vj∈V、vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。
强连通分量: 有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。

连通图的生成树: 所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图，如果它多于n-1边条，必定构成一个环，因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径。

有向树: 如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一个有向树。

对有向树的理解比较容易，所谓入度为0其实就相当于树中的根结点，其余顶点入度为1就是说树的非根结点的双亲只有一个。

有向图的生成森林: 一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。

图的存储结构

由千图的结构比较复杂，任意两个顶点之间都可能存在联系，因此无法以数据元素在存储区

中的物理位置来表示元素之间的关系，即图没有顺序存储结构，但可以借助二维数组来表示元素

之间的关系，即邻接矩阵表示法。另一方面，由于图的任意两个顶点间都可能存在关系，因此，

用链式存储表示图是很自然的事，图的链式存储有多种，有邻接表、十字链表和邻接多重表，应

根据实际需要的不同选择不同的存储结构。

邻接矩阵表示法

由图解：顶点之间关联就对应二维数组上就赋值1，反之就为0；

对于网，有边的位置，赋值其权，其余为 ∞；

使用邻接矩阵表示法，除了需要用二维数组表示元素之前的关系时，还需要用一个一维数组来表示每个顶点所包含的数据；

// 对于网和普通的图，主要是多了一个权，所以这里以网结构来展开
const int MVNum = 100; // 最大顶点数
const int MaxInt = 32767; // 最大值， ∞
// 定义一个结构体
typedef struct {
    ElemType vexs[MVNum]; // 顶点表
    int arcs[MVNum][MVNum]; // 邻接矩阵
    int vexNum, arcNum; // 图的当前点数和边数
}AMGraph;

创建一个无向网

// 
Status CreateUDN(AMGraph &G) {
    // 
    cin>>G.vexNum>>G.arcNum; // 输入中的顶点数，和边数
    
    for(int i = 0; i < G.vexNum; i++) {
        cin>>G.vexs[i]; // 这里对顶点元素数据赋值
    }
    
    for(int i = 0; i < G.vexNum; i++) {
        for(int j = 0; j < G.vexNum; j++) {
            G.arcs[i][j] = MaxInt; // 对邻接矩阵初始化
        }
    }
    
    for(int i = 0; i < G.arcNum; i++) {
        int v1,v2; // 顶点
        int w; // 权重
        cin>>v1>>v2>>w; 
        // 获取v1,v2顶点在邻接矩阵中的位置
        int _v1 = locateVex(G,v1);
        int _v2 = lovateVex(G,v2);
        G.arcs[_v1][_v2] = w; //设置权重
        G.arcs[_v2][_v1] = G.arcs[_v1][_v2]; // 这是无向网的特别处理
    }
    return OK;
}

邻接矩阵表示的优劣

(1)优点

便于判断两个顶点之间是否有边，即根据A[i][j] = 0或1来判断。
便于计算各个顶点的度。对千无向图，邻接矩阵第凶于元素之和就是顶点l的度；对于有向图，第i行元素之和就是顶点 i 的出度，第i 列元素之和就是顶点l 的入度。

(2) 缺点

不便千增加和删除顶点。
不便千统计边的数目，需要扫描邻接矩阵所有元素才能统计完毕。
空间复杂度高。如果是有向图，n个顶点需要n²个单元存储边。如果是无向图，因其邻接矩阵是对称的，所以对规模较大的邻接矩阵可以采用压缩存储的方法，仅存储下三角（或上三角）的元素,这样需要n(n-1)/2个单元即可。但无论以何种方式存储，邻接矩阵表示法的空间复杂度均为0(心，这对千稀疏图而言尤其浪费空间。

邻接表表示法

采用链式存储的结构，每个顶点构建一个单链表，其中表头存放顶点信息，其余结点存放相关边的信息；

data, info 为数据域
firstarc,nextarc 为链域
adjvex 邻接域

表头结点采用顺序存储的结构存储，以便可以随机访问任一顶点的边链表

// 
const int MaxInt = 100;
// 边结点
typedef struct ArcNode{
    int adjvex; // 改变所指向的顶点的位置
    struct ArcNode * nextarc; // 指向下一条边
    int info; // 和边相关的信息
}ArcNode;

// 顶点信息
typedef struct VNode {
    int data; // 数据域
    ArcNode * firstarc; //	指向第一条依附该顶点的边的指针
}VNode, AdjList[MVNum];

// 
typedef struct {
    AdjList vertices; //邻接表
    int vexNum, arcNum; // 图的当前顶点，边数
}ALGraph;

采用邻接表创建一个无向图

//
status CreateUDG(ALGraph & G) {
    cin>>G.vexNum>>G.arcNum;
    // 对每一个链表进行赋值初始化
    for(int i = 0; i<G.vexNum; i++) {
        cin>>G.vertices[i].data; // 输入头结点信息
        G.vertices[i].firstarc = NULL;
    }
    for(int i = 0; i < G.arcNum; i++) {
        cin>>v1>>v2;
        int _v1 = locateVex(G,v1);
        int _v2 = lovateVex(G,v2);
        // 动态开辟空间，创建一个边结点
        ArcNode * p1 = new ArcNode; // 
        p1->adjvex = _v2; // 邻接点序号为_v2
        p1->nextarc = G.vertices[_v1].firstarc;
        G.vertices[_v1].firstarc = p1;
        // 对称结点
        ArcNode * p2 = new ArcNode;
        p2->adjvex = _v1;
        p2->nextarc = G.vertices[_v2].firstarc;
        G.vertices[_v2].firstarc = p2;
    }
    return OK;
}

ps:，一个图的邻接矩阵表示是唯一的，但其邻接表表示不唯一，这是因为邻接表表示中，各边表结点的链接次序取决于建立邻接表的算法，以及边的轮入次序

邻接表表示法的优缺点

(1) 优点

便于增加和删除顶点。
便于统计边的数目，按顶点表顺序扫描所有边表可得到边的数目。
空间效率高。对于一个具有n个顶点e条边的图 G, 若 G 是无向图，则在其邻接表表示中有 n 个顶点表结点和 2e 个边表结点；若 G 是有向图，则在它的邻接表表示或逆邻接表表示中均有 n 个顶点表结点和e个边表结点。因此，邻接表或逆邻接表表示的空间复杂度为 O(n + e), 适合表示稀疏图。对于稠密图，考虑到邻接表中要附加链域，因此常采取邻接矩阵表示法。

(2) 缺点

不便于判断顶点之间是否有边，要判定 V_i和v_j之间是否有边，就需扫描第i个边表，最坏情况下要耗费 O(n)时间。
不便于计算有向图各个顶点的度。对于无向图，在邻接表表示中顶点V_i的度是第i个边表中的结点个数。在有向图的邻接表中，第 i 个边表上的结点个数是顶点 V_i的出度，但求 V_j的入度较困难，需遍历各顶点的边表。若有向图采用逆邻接表表示(就是边表尾入度)，则与邻接表表示相反，求顶点的入度容易，而求顶点的出度较难。

十字链表

十字链表 (Orthogonal List) 是有向图的另一种链式存储结构。可以看成是将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的一种链表。在十字链表中，对应于有向图中每一条弧有一个结点，对应于每个顶点也有一个结点。

尾域 (tailvex) 和头域 (headvex) 分别指示弧尾和弧头这两个顶点在图中的位置；
链域 hlink 指向弧头相同的下一条弧，而链域 tlink 指向弧尾相同的下一条弧；
info域指向该弧的相关信息。弧头相同的弧在同一链表上，弧尾相同的弧也在同一链表上；
data 域存储和顶点相关的信息，如顶点的名称等；
firstin 和 firstout为两个链域，分别指向以该顶点为弧头或弧尾的第一个弧结点。

ps: 此图弧结点省略了info

有向图的十字链表存储表示

// 
const int MAX_VERTEX_NUM = 20;
typedef struct ArcBox {
    int tailvext, headvex; // 该弧头尾顶点的位置, 这里特指顶点在顺序存储中的索引值
    struct ArcBox * hlink, * tlink; // 弧头，弧尾相同的链域
    int info; // 信息
}ArcBox;

typedef struct VexNode {
    int data;
    ArcBox * firstin, * firstout; // 入弧，出弧
}VexNode;

typedef struct {
    VexNode xlist[MAX_VERTEX_NUM]; // 
    int vexnum,arcnum; // 有向图当前顶点数，和弧数
}OLGraph;

邻接多重表

邻接多重表 (Adjacency Multilist) 是无向图的另一种链式存储结构。虽然邻接表是无向图的

一种很有效的存储结构，在邻接表中容易求得顶点和边的各种信息。但是，在邻接表中每一条边

(Vi, Vj )有两个结点，分别在第i个和第j个链表中，这给某些图的操作带来不便。

mark 为标志域，可用以标记该条边是否被搜索过；
ivex 和 jvex为该边依附的两个顶点在图中的位置;
ilink 指向下一条依附于顶点 ivex 的边;
jlink 指向下一条依附于顶点jvex的边，info为指向和边相关的各种信息的指针域；

无向图的邻接多重表存储表示

const int MAX_VERTEX_NUM = 20;
typedef enum{unvisited, visited} VisitIf;
typedef struct EBox {
    VisitIf mark; // 访问标记
    int ivex, jvex; // 该边依附的两个顶点的位置
    struct EBox * ilink, *jlink; // 分别指向依附这两个顶点的下一条边
    int info;
}EBox;
typedef struct VexBox {
    int data;
    EBox * firstedge; // 指向第一条依附该顶点的边
}VexBox;
typedef struct {
    VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM];
    int vexNum, arcNum;
}AMLGraph;

图的基本操作

CreateGraph{&G,V,VR}

初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。

操作结果：按V和VR的定义构造图G。

DestroyGraph { &G}

初始条件：图G存在。

操作结果：销毁图G。

Locat eVex{G,u}

初始条件：图G存在，u和G中顶点有相同特征。

操作结果：若G中存在顶点 u, 则返回该顶点在图中的位置；否则返回其他信息。

GetVex{G,v}

初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。

操作结果：返回v的值

PutVex(&G,v,value);

初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。

操作结果：对 v赋值value。

FirstAdjVex(G,v)

初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。

操作结果：返回 v的第一个邻接顶点。若v在G中没有邻接顶点，则返回 “空” 。

NextAdjVex(G,v,w)

初始条件：图G存在，v是G中某个顶点，w是v的邻接顶点。

操作结果：返回v的（相对千w的）下一个邻接顶点。若w是v的最后一个邻接点，则返回 “空” 。

InsertVex(&G,v)

初始条件：图G存在，v和图中顶点有相同特征。

操作结果：在图G中增添新顶点v。

DeleteVex(&G,v)

初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。

操作结果：删除 G中顶点v及其相关的弧。

InsertArc(&G,v,w)

初始条件：图G存在，v和w是G中两个顶点。

操作结果：在G中增添弧<v, w>, 若G是无向图，则还增添对称弧<w, v>。

Dele七eArc(&G,v,w)

初始条件：图G存在，v和w是G中两个顶点。

操作结果：在G中删除弧<v, w>, 若G是无向图，则还删除对称弧<w, v>。

DFSTraverse(G)

初始条件：图G存在。

操作结果：对图进行深度优先遍历，在遍历过程中对每个顶点访问一次。

BFSTraverse(G)

初始条件：图G存在。

操作结果：对图进行广度优先遍历，在遍历过程中对每个顶点访问一次

原文链接: https://www.cnblogs.com/longyuan-ly/p/15868591.html

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数据结构–图的基础知识

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图的基本术语

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邻接矩阵表示法

邻接矩阵表示的优劣

邻接表表示法

邻接表表示法的优缺点

十字链表

邻接多重表

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