[摘记]数值方法03——函数积分

注：以下来自《C++数值算法一书》，仅对章节内容做摘要，为的是给自己扫盲，不涉及算法。

求积分高数里都学过了，就不介绍了。

1. 坐标等距划分的经典公式

思想：最经典最原始的求积分方法。使用了在端点的函数值f(a)和f(b)的积分公式，称为闭型公式。有时被积函数在一个或两个端点处的函数值难以计算，此时就需要一个开型公式。典型的方法有Newton-Cotes闭型公式，该公式根据划分区间数有梯形法、Simpson法等方法。针对开型公式和半开型公式，这个公式有更多扩展。

2. 基本算法

思想：扩展梯形法、以及扩展Simpson法。

3. 龙贝格积分

思想：利用扩展梯形法中连续进行k次细分的结果，消除误差级数直到O(1/N^2k)的所有项。

4. 广义积分

思想：注意广义积分不是不可积的，只是有开型公式的约束。

5. 高斯求积法与正交多项式

思想：不仅能给我们选择系数的自由，而且还能自由选择在哪些坐标位置进行函数求值，这些坐标点不再是等间隔的。高斯求积计算法明显分两步：1.得到正交多项式p₀,…,p_N，2.求p_N(x)的零点及其相应的权值。

6. 多维积分

思想：碰到多维积分问题，首先考虑能否解析地将维数降低。

若被积公式在很小区域内峰值不明显，且边界复杂，且允许相对较低的精度，可用蒙特卡罗积分方法。

若边界简单，函数很平滑，则用残留逼近将多维积分分成多重一维积分，或者多维高斯求积分。精度要求较高时逼近是唯一的选择。

若精度要求不高，且被积函数变化较慢，在积分区域内又恨平滑，则用多重一维积分或多维高斯求积分。若被积函数震荡或不连续，但在小区域内峰值不显著，则用蒙特卡罗方法。

若被积函数在小区域内峰值确实显著，并且已知这些区域，则可将积分分成在几个区域内分别进行，使其在每个区域都平滑。

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