Rmq(区间最值)

问题是求区间最值问题。

你当然可以写个O(n)的（怎么写都可以吧=_=),但是万一要询问最值1000000遍，估计你就要挂了。这时候你可以放心地写一个线段树（前提是不写错）应该不会挂。但是，这里有更简单的算法，就是ST算法，它可以做到O(nlogn)的预处理，O(1)地回答每个询问。
来看一下ST算法是怎么实现的(以最大值为例）：

首先是预处理，用一个DP解决。设a[i]是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，Dp的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max（F[i，j-1],F[i+2^(j-1)，j-1]）.

接下来是得出最值，一个很好的办法，做到了O（1）。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l，r]分成两个长度为2^k的区间（保证有f[i，j]对应）。直接给出表达式：
k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2))；
ans:=max(F[l，k]，F[r-2^k+1，k])；

下面给出C++代码：

#include <cstdio>
#include <cmath> 
#include <cstdlib>
int f[200000][25];//因为log2(200000)也就20左右,所以一个200000*25的数组足够了。
int a[200000];
int min(int a,int b)
{
    return (a>b)?b:a;
}
int main()
{
    freopen("rmq.in","r",stdin);
    freopen("rmq.out","w",stdout);
    int n,m;
    scanf("%d",&n);
    scanf("%d",&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d",&f[i][0]);
    int q=(int)log2(n);
    for (int j=1;j<=q;j++)
      for (int i=1;i<=n;i++)
      {
          if (i+(1<<j)-1>n) break;
          f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
      } 
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        a=min(f[a][(int)log2(b-a+1)],f[b-(1<<(int)(log2(b-a+1)))+1][(int)log2(b-a+1)]);
        printf("%d ",a);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}
          

以上内容部分参考了SALTLESS(www.cnblogs.com/saltless)。

本文地址：http://www.cnblogs.com/foreverzsz/archive/2010/11/07/1871077.html；

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