位运算与位向量

一、位运算基本概念及简单运用

C语言提供了六种位运算符：

    &     按位与，即and运算
    |      按位或，即or运算
    ^      按位异或
    ~      取反
    <<    左移，相当与*2
    >>    右移，正数高位补0，负数由计算机决定

   循环左移k次 (x<<k) | (x >> (32-k)),

   循环右移k次 (x>>k) | (x << (32-k))

当然常常应为优先级问题而犯错~~~

优先级及口诀如下

按位与运算

按位与运算符"&"是双目运算符。其功能是参与运算的两数各对应的二进位相与。只有对应的两个二进位均为1时，结果位才为1，否则为0。参与运算的数以补码方式出现。
例如：9&5可写算式如下：
    00001001      (9的二进制补码)
    &00000101    (5的二进制补码)
    00000001       (1的二进制补码)
可见9&5=1。
按位与运算通常用来对某些位清0或保留某些位。例如把a 的高八位清 0 ，保留低八位，可作a&255运算（255 的二进制数为0000000011111111）。

按位或运算

按位或运算符“|”是双目运算符。其功能是参与运算的两数各对应的二进位相或。只要对应的二个二进位有一个为1时，结果位就为1。参与运算的两个数均以补码出现。
例如：9|5可写算式如下：
    00001001
    |00000101
    00001101    (十进制为13)
可见9|5=13

按位异或运算

按位异或运算符“^”是双目运算符。其功能是参与运算的两数各对应的二进位相异或，当两对应的二进位相异时，结果为1。参与运算数仍以补码出现，例如9^5可写成算式如下：
    00001001
    ^00000101 
    00001100    (十进制为12)

求反运算

求反运算符~为单目运算符，具有右结合性。其功能是对参与运算的数的各二进位按位求反。例如~9的运算为：
    ~(0000000000001001)
结果为：1111111111110110

左移运算

左移运算符“<<”是双目运算符。其功能把“<< ”左边的运算数的各二进位全部左移若干位，由“<<”右边的数指定移动的位数，高位丢弃，低位补0。例如：
    a<<4
指把a的各二进位向左移动4位。如a=00000011(十进制3)，左移4位后为00110000(十进制48)。

右移运算

右移运算符“>>”是双目运算符。其功能是把“>>”左边的运算数的各二进位全部右移若干位，“>>”右边的数指定移动的位数。例如：
    设  a=15，
    a>>2
表示把000001111右移为00000011(十进制3)。

注意：对于有符号数，在右移时，符号位将随同移动。当为正数时，最高位补0，而为负数时，符号位为1，

         最高位是补0或是补1 取决于编译系统的规定。Turbo C和很多系统规定为补1。

简单运用

1. 交换两个数（字符）,不用第三个变量就可以交换两个变量的值了：

      用异或^,原理：两次异或能还原，即a = (a^b) ^ b

2. 判断一个数是不是2的幂次：

     原理：2的幂次的二进制表示中只有一位是1，其他位为0

     x = x&(x-1)是让x的二进制码最右侧的1置为0，如果结果为0就表示原先x只有1位是1，其他位为0

     inline bool is2pow(int x) { return (x&(x-1)==0 && (x!=0)); }

     inline bool is2pow(int x) { return ( (x&-x)==x ); }

3. 求一个整数有多少位是0：

      原理同上。用x&(x-1)

1 int  count = 0;
2 while(x)
3 {
4    ++count;
5    x &= (x-1);
6 }

4. 二进制快速求幂：

1 long pow(int x, unsigned int n){
2     long p = 1;
3     while (n){
4         if (n & 1) p *= x;
5         x *= x;
6         n >>= 1;
7     }
8     return p;
9 }

5. 判断奇偶数：

     原理：奇数最后一位为1，偶数为0

     inline bool odd(int x) { return x&1; }

     inline bool even(int x) {return !(x&1); } 

     n%2 = n&1

     n%4 = n&3

     n%8 = n&7

     ……

6. 求x绝对值：

     原理：x为正数时不做改变，为负数时取反加1

     x为正数时y = 0 = 0000 0000 0000 0000

     x为负数时y = -1 = 1111 1111 1111 1111

     跟0异或是本身，跟1异或是取反

1 inline int abs(int x){
2     int y = x >> 31;
3     return ( x^y-y);
4 }

7. 对2的幂次取模：

     原理：x&y取出x和y二进制位1的所有位。x^y>>1取出x,y只有一个二进制位1的并除以2

     return (x&y) + (x^y)>>1);

     不用位运算时注意 (x+y)/2,有可能会溢出。

     x向上取整到y，其中y=2^n (字节对齐用)：

     #define rund(x,y) ( ((x)+(y)-1)&~((y)-1) )

8. 其他：

    只有第k位为1的数 1 << (k-1)

    后k位为均为1的数 (1<<k)-1

    x 的第k+1位 x >> k &1

    x的第k+1位置1： x >> k |(1 << k)

    x的第k+1位置0： x >> k &~(1 << k) 

    注意：左移1位再右移1位不一定时原先的值

二、位向量（求解答）？？？？？？？？？？？？？？？